Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

4. Интегралы уравнений равновесия для расслоенного поля напряжений 45
т.е. распределение σ
3
, если поле n известно, может быть найдено интегри
рованием уравнения эйконала.
32
Здесь по-прежнему κ
1
нормальная кри
визна линий, расположенных на слое поля n и касающихся поля главных
нормалей векторных линий поля n, κ
2
нормальная кривизна линий, рас
положенных на слое поля n и касающихся поля бинормалей векторных
линий поля n.
Заключая этот раздел работы, следует отметить, что любое плоское век
торное поле в трехмерном пространстве будет расслоенным. Поэтому поле
напряжений, возникающее при плоской деформации тела, как частный слу
чай входит в рассматриваемый класс расслоенных полей напряжений.
4. Интегралы уравнений равновесия для рас-
слоенного поля напряжений
Векторное уравнение (1.9) имеет инвариантную форму. Преобразуем
его к криволинейным координатам ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
. Ковариантные компоненты
поля div(n ⊗n) равны (см., например, [28], с. 208; [29], с. 45):
(div(n ⊗ n))
l
=
1
√
g
g
kl
∂(
√
gn
k
n
m
)
∂ξ
m
+ n
r
n
s
[rs, l](l =1, 2, 3), (4.1)
где g
ij
компоненты метрического тензора, g =det||g
ij
||, [rs, l] симво
лы Кристоффеля первого рода. Через n
m
обозначены контравариантные
компоненты векторного поля n.
Используя формулу (4.1), представим уравнение (1.9) в ковариантной
форме:
∂Σ
∂ξ
l
+
1
√
g
g
kl
∂
∂ξ
m
(
√
gn
k
n
m
)+n
r
n
s
[rs, l]=0. (4.2)
Воспользуемся расслоенностью векторного поля n и выберем криволи
нейные координаты ξ
m
специальным образом: координатные поверхности
ξ
3
=constесть слои поля n, а поверхности ξ
1
=constи ξ
2
=const
интегральные поверхности поля n (т.е. поверхности, составленные из инте
гральных кривых векторного поля n). Строго регламентированным, таким
образом, является лишь выбор координатных поверхностей ξ
3
=const.
Остальные координатные поверхности могут быть выбраны с известной
долей произвола.
33
Дополнительно заметим, что поверхности ξ
1
=constи
ξ
2
=const характеристические для уравнения (1.9).
32
Как уже отмечалось при изучении вырожденного случая, решения граничных задач для уравнения
эйконала имеют характерные для теории пластичности разрывы первых производных.
33
Необходимо отметить, что возможность до известной степени произвольно выбирать координат-
ные поверхности ξ
1
=constи ξ
2
=constпозволяет констатировать, что криволинейная сетка ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,
вообще говоря, отличается от ортогональной изостатической сетки. Напомним, что изостатой (или
Ю.Н. Радаев

Страницы