Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

46 4. Интегралы уравнений равновесия для расслоенного поля напряжений
При таком выборе криволинейных координат имеем: g
13
=0,g
23
=
0,n
1
=0,n
2
=0, что позволяет существенно упростить уравнения (4.2):
∂Σ
∂ξ
1
−
1
2
(n
3
)
2
∂g
33
∂ξ
1
=0,
∂Σ
∂ξ
2
−
1
2
(n
3
)
2
∂g
33
∂ξ
2
=0,
∂Σ
∂ξ
3
+ g
33
∂(n
3
)
2
∂ξ
3
+
1
2
g
33
(n
3
)
2
∂
∂ξ
3
ln (g
33
g)=0.
Так как (n
3
)
2
=1/g
33
, то последние уравнения эквивалентны следую-
щим:
∂
∂ξ
1
(Σ −ln
√
g
33
)=0,
∂
∂ξ
2
(Σ −ln
√
g
33
)=0,
∂
∂ξ
3
(Σ −ln
√
g
33
+ln
√
g)=0.
(4.3)
Уравнения (4.3) интегрируются вдоль линий главных напряжений. Ин-
вариант I
1
=Σ−ln
√
g
33
сохраняет свое значение на каждом из слоев поля
n. Инвариант I
2
=Σ−ln
√
g
33
+ln
√
g не изменяется вдоль векторной линии
поля n. Таким образом, если напряженное состояние соответствует ребру
призмы Треска, то поле главных направлений, определяющих ориентацию
n, необходимо является расслоенным и, следовательно, в новых специаль-
ным образом подобранных координатах уравнения равновесия приводятся
к трем интегрируемым соотношениям (4.3).
Отметим, что пространственная задача для жесткопластической среды
с критерием текучести Мизеса исследовалась [30] в координатной сетке
линий главных напряжений. Осесимметричная жесткопластическая задача
также анализировалась при помощи криволинейной сетки линий главных
напряжений в [31], [32].
Инварианты пространственных уравнений теории пластичности были
получены в работе [17]. В этой же работе была установлена связь меж-
ду преобразованием области пластического течения с помощью координат
линией главного напряжения) называется кривая, касательная к которой направлена вдоль главной
оси тензора напряжений. Однако все три координатные линии системы координат ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
являются
изостатами, правда, координатные линии, соответствующие координатам ξ
1
,ξ
2
, могут не быть ортого-
нальными друг другу. Это обусловлено тем, что в силу σ
1
= σ
2
любое направление на слое ξ
3
=const
является главным и, следовательно, любая траектория на этом слое будет изостатой. Поэтому выбор
тех или иных направлений на слое ξ
3
=constв качестве координатных диктуется прежде всего тем,
чтобы в результате получалась бы такая локальная система трех ориентаций, для которой был бы
осуществим подбор криволинейных координат с локальным базисом, ориентированным точно также.
Ортогональная изостатическая криволинейная координатная сетка (т.е. сетка, координатные линии
которой касаются трех взаимно ортогональных главных осей тензора напряжений) даже для рассло-
енного поля напряжений существует далеко не всегда. Ниже, в разделе 7, будут приведены условия,
обеспечивающие возможность введения ортогональной изостатической системы координат. Если орто-
гональные изостатические координаты все же можно ввести, то поле напряжений необходимо является
расслоенным. Обратное утверждение, конечно же, не является справедливым.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы