Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

48 5. Классы пространственных задач с расслоенными полями напряжений
действительно может реализоваться в том или ином состоянии равновесия
твердого тела.
Рассмотрим тело Ω, часть границы A которого свободна, или на нее
действует нормальная поверхностная нагрузка p(x).
В этом случае, как известно, ”физическая задача Коши”, если огра-
ничиться только напряженными состояниями, соответствующими ребру
призмы Треска,
34
приводится к двум математическим задачам Коши с на-
чальными данными на поверхности A (ν — единичный вектор нормали к
поверхности A): 1) n = ν, Σ=p/(±2k) на поверхности A;2)n · ν =
0, Σ=1+p/(±2k) на поверхности A. Здесь p — модуль вектора p,т.е.
p(x)=±p(x)ν.
Рассмотрим первую из указанных задач
35
и покажем, что она разреши-
ма, что и будет означать, что поле напряжений, примыкающее к поверхно-
сти A, соответствует ребру призмы Треска и является расслоенным неза-
висимо от характера распределения нормальной поверхностной нагрузки
p = p(x). Однако прежде выделим еще один класс задач пространствен-
ного равновесия с соответствующими ребру призмы Треска расслоенными
полями напряжений.
Пусть тело Ω симметрично относительно некоторой плоскости Π ипод-
вергается действию симметричной поверхностной нагрузки так, что мате-
риал, расположенный в плоскости симметрии, переходит в состояние пла-
стического течения. Плоскую область, являющуюся сечением тела Ω плос-
костью Π, обозначим через A. В силу симметрии плоская область A будет
слоем векторного поля n, имеющего ориентацию главного направления.
Предположим, что в сечении тела рассматриваемой плоскостью касатель-
ные напряжения отсутствуют. Если через ν обозначить единичную нор-
маль к A, имеющую направление поля n, а через p(x) — абсолютную вели-
чину вектора напряжений на площадке с нормалью ν,тонаповерхности
A, если считать напряженное состояние соответствующим ребру призмы
Треска, имеем следующее условие: n = ν, Σ=p/(±2k). Это условие фор-
мально (фактически, не зная характера распределения p = p(x))можно
34
Что представляется естественным, так как в этом случае имеется меньше всего кинематических
ограничений.
35
Вторая из математических задач Коши (если бы вектор n однозначно определялся на граничной
поверхности) ставилась бы, как это следует из условия n · ν =0, на характеристической поверхно-
сти и, следовательно, ее формулировка былы бы некорректной: решения такой задачи либо вообще
бы не существовало, либо если бы решение существовало, то оно было бы заведомо неединственным.
Однако физическое краевое условие не определяет однозначно вектор n, устанавливая лишь только
то, что вектор n ориентирован произвольно в касательной к граничной поверхности плоскости. Подоб-
ная неопределенность ориентации вектора n на граничной поверхности часто позволяет использовать
начальное условие именно второго типа при решении краевых задач математической теории пластич-
ности. Подробное исследование этой ситуации имеется в [7], с. 242, 243. Однако даже в этом случае,
если удается построить поле напряжений, соответствующее ребру призмы Треска, то, как следует
из результатов раздела 1, поле напряжений необходимо будет расслоенным, правда, сама граничная
поверхность уже не будет слоем поля n.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы