Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

5. Классы пространственных задач с расслоенными полями напряжений 49
принять в качестве краевого и исследовать поле напряжений в простран-
ственных областях, примыкающих к A.
Таким образом, для n и Σ в каждом из рассматриваемых случаев имеем
формально эквивалентные математические задачи Коши: в области, при-
мыкающей к поверхности A, требуется определить единичное векторное
поле n и скалярное поле Σ, удовлетворяющие уравнению (1.9) и началь-
ным условиям n = ν, Σ=Σ
A
(x) на поверхности A.
Оказывается, что всегда существуют векторное поле n и скалярное по-
ле Σ, являющиеся решением сформулированной задачи Коши, независимо
от характера распределения Σ
A
(x), причем поле n будет расслоенным в
некоторой области, примыкающей к поверхности A. Именно справедливо
следующее утверждение: в некоторой области D, примыкающей к анали-
тической поверхности A, существует единственное аналитическое решение
задачи Коши для уравнения
gradΣ + div(n ⊗n)=0 (n · n =1)
с аналитическими начальными данными n = ν, Σ=Σ
A
(x) на поверхности
A (ν — вектор единичной нормали к поверхности A), причем векторное
поле n будет расслоенным в области D.
Докажем сформулированное утверждение. Параметризуем поверхность
A при помощи аналитических функций x
i
= λ
i
(ξ
1
,ξ
2
)(i =1, 2, 3). Здесь
ξ
1
,ξ
2
— Гауссовы параметры. По крайней мере один из миноров второго
порядка матрицы ||∂λ
i
/∂ξ
α
|| (i =1, 2, 3; α =1, 2) должен быть отличен от
нуля, иначе параметризуемый объект не будет двумерной поверхностью.
Предположим ради определености, что
W =det||∂λ
α
/∂ξ
β
|| 6=0 (α, β =1, 2). (5.1)
На множестве расслоенных полей n уравнение (1.9) в специальных кри-
волинейных координатах ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
эквивалентно уравнениям (4.3). Первые
два уравнения системы (4.3) и начальные условия для функции Σ дают
возможности найти компоненту g
33
на поверхности A (C — постоянная)
g
33
|
A
= Ce
2Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)
. (5.2)
Пусть начальному слою A векторного поля n соответствует значение
ξ
3
=0. Этого всегда можно добиться преобразованием трансляции коорди-
наты ξ
3
, относительно которого система уравнений (4.3) инвариантна. Так
как g|
A
= a(ξ
1
,ξ
2
) g
33
|
A
,гдеa(ξ
1
,ξ
2
) — детерминант первой квадратичной
формы поверхности A, то, учитывая равенство (5.2), получим:
g|
A
= Ca(ξ
1
,ξ
2
)e
2Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)
. (5.3)
Ю.Н. Радаев

Страницы