Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

5. Классы пространственных задач с расслоенными полями напряжений 47
ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
и каноническими преобразованиями, изучавшимися в свое время
Пуанкаре (H. Poincare) [33], [34](см.также[26], [35]). Канонические преоб-
разования можно эффективно анализировать с помощью производящих
функций. Как было показано в [36], [17], уравнения для производящих
функций, которые подлежат определению в плоских и осесимметричных
задачах теории пластичности, обладают важными свойствами инвариант-
ности относительно преобразований Лежандра и Ампера.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости системы (4.3)со-
стоит, как нетрудно заметить, в возможности разложения детерминанта g
на произведение двух положительных функций:
g = G
1
(ξ
3
)G
2
(ξ
1
,ξ
2
). (4.4)
Уравнение (4.4) является одновременно и общим интегралом уравнений
(3.17): если задаться криволинейными координатами ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
так, чтобы
g
13
=0и g
23
=0и выполнялось (4.4), то векторное поле
n =
∇ξ
3
|∇ξ
3
|
будет тождественно удовлетворять уравнениям (3.17).
В качестве примеров расслоенного поля напряжений можно привести
осесимметричную задачу и задачу о плоской деформации. Действительно,
любое осесимметричное, или плоское, векторное поле является расслоен-
ным. Если ввести цилиндрические координаты r, ϕ, z, то слоями осесим-
метричного поля n будут поверхности, образованные вращением вокруг
оси симметрии ортогональных полю n траекторий, расположенных в плос-
кости ϕ =0. Слоями плоского векторного поля являются цилиндрические
поверхности над ортогональными линиями поля n.
Ясно также, что если поле напряжений допускает ортогональную изо-
статическую координатную сетку ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
, то оно является расслоенным,
и соотношения (4.3) следует рассматривать как интегрируемые соотноше-
ния вдоль взаимно ортогональных линий главных напряжений.
5. Классы пространственных задач с расслоен-
ными полями напряжений
Выше было показано, что напряженные состояния, соответствующие
ребру призмы Треска, необходимо имеют расслоенные поля главных на-
правлений напряжений, которые отвечают наибольшим (или наименьшим)
главным напряжениям. Ниже указываются достаточные признаки того,
что расслоенное поле напряжений, соответствующее ребру призмы Треска,
Ю.Н. Радаев

Страницы