Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

50 5. Классы пространственных задач с расслоенными полями напряжений
Координатная система ξ
k
такова, что g разлагается в виде произведе-
ния (4.4). Сравнивая (4.4)и(5.3) при ξ
3
=0, получим, что G
2
(ξ
1
,ξ
2
)=
CG
−1
1
(0)a(ξ
1
,ξ
2
)e
2Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)
. Не ограничивая общности, можно считать, что
G
1
(ξ
3
)=C
−1
1
e
2ξ
3
, так как любая замена вида ξ
3
= ξ
3
(ξ
0
3
) не изменяет слоев
поля n.
Таким образом, положив CG
−1
1
(0) = C
1
, имеем следующее равенство:
g = a(ξ
1
,ξ
2
)e
2(Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)+ξ
3
)
. (5.4)
Утверждение будет доказано, если доказать разрешимость следующей
задачи Коши:
∂f
1
∂ξ
1
∂f
1
∂ξ
3
+
∂f
2
∂ξ
1
∂f
2
∂ξ
3
+
∂f
3
∂ξ
1
∂f
3
∂ξ
3
=0,
∂f
1
∂ξ
2
∂f
1
∂ξ
3
+
∂f
2
∂ξ
2
∂f
2
∂ξ
3
+
∂f
3
∂ξ
2
∂f
3
∂ξ
3
=0,
∂f
k
∂ξ
3
∂f
k
∂ξ
3
"
∂f
p
∂ξ
1
∂f
p
∂ξ
1

∂f
r
∂ξ
2
∂f
r
∂ξ
2
−
∂f
s
∂ξ
1
∂f
s
∂ξ
2
2
#
=
= a(ξ
1
,ξ
2
)e
2(Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)+ξ
3
)
(5.5)
с аналитическими начальными данными на плоскости ξ
3
=0:
f
i
(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)
ξ
3
=0
= λ
i
(ξ
1
,ξ
2
)(i =1, 2, 3). (5.6)
Тогда поверхности ξ
3
=constкриволинейной системы координат x
i
=
f
i
(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)(i =1, 2, 3) можно будет принять в качестве слоев векторного
поля n, причем начальные условия на поверхности A также будут удовле-
творены как для n, так и для Σ.
Теорема Коши—Ковалевской
36
приводит к заключению о разрешимости
задачи Коши (5.5), (5.6), если доказать, что система уравнений (5.5)может
быть приведена к нормальному по переменной ξ
3
виду. Для этого разрешим
систему относительно частных производных ∂f
i
/∂ξ
3
(i =1, 2, 3).Введем
следующие обозначения:
∆
1
=
∂f
2
∂ξ
1
∂f
3
∂ξ
1
∂f
2
∂ξ
2
∂f
3
∂ξ
2
, ∆
2
=
∂f
3
∂ξ
1
∂f
1
∂ξ
1
∂f
3
∂ξ
2
∂f
1
∂ξ
2
, ∆
3
=
∂f
1
∂ξ
1
∂f
2
∂ξ
1
∂f
1
∂ξ
2
∂f
2
∂ξ
2
.
36
Эта классическая теорема устанавливает разрешимость в классе аналитических функций системы
уравнений в частных производных, имеющей нормальную форму по той из переменных, при заданном
значении которой формулируются начальные данные, при условии, что правые части нормальной
системы являются аналитическими функциями всех своих аргументов и начальные данные также
аналитичны. По поводу доказательства см., например, [37], с. 20-24; [38], с. 30-37.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы