Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

5. Классы пространственных задач с расслоенными полями напряжений 51
Кроме того, обозначим через Z выражение, расположенное в квадрат-
ных скобках (5.5). После ряда алгебраических преобразований получим си-
стему уравнений в частных производных (5.5) в нормальной по переменной
ξ
3
форме
∂f
i
∂ξ
3
= ±a
1/2
Z
−1/2
e
Σ
A
+ξ
3
∆
i
(∆
k
∆
k
)
−1/2
(i =1, 2, 3). (5.7)
Знак в уравнениях (5.7) выберем так, чтобы при возрастании перемен-
ной ξ
3
от нуля в сторону положительных значений точка с координатами
x
i
= f
i
(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
) физического пространства двигалась от поверхности A
внутрь тела Ω, если A — часть граничной поверхности тела.
Осталось еще показать, что правые части в (5.7) аналитичны при ξ
3
=0
для всех допустимых значений остальных аргументов
ξ
1
,ξ
2
,
∂f
k
∂ξ
α
.
На начальной плоскости ξ
3
=0имеем следующие равенства (см. (5.1),
(5.3)): ∆
3
|
ξ
3
=0
= W (ξ
1
,ξ
2
),Z|
ξ
3
=0
= a(ξ
1
,ξ
2
). Так как для любой точки
(ξ
1
,ξ
2
) справедливо aW 6=0, то правые части системы (5.7) будут анали-
тическими функциями аргументов ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
, ∂f
k
/∂ξ
α
(k =1, 2, 3; α =1, 2)
в окрестности любой точки
ξ
1
= ξ
1
(0)
,ξ
2
= ξ
2
(0)
,ξ
3
=0,
∂f
k
∂ξ
α
=
∂λ
k
∂ξ
α
ξ
1
=ξ
1
(0)
,ξ
2
=ξ
2
(0)
(k =1, 2, 3; α =1, 2).
На основании теоремы Коши—Ковалевской можно сделать заключение
о разрешимости задачи Коши (5.5), (5.6) и справедливости доказываемого
утверждения.
Таким образом, для тела Ω, имеющего плоскость симметрии Π,подвер-
женного действию симметричной поверхностной нагрузки, такой, что мате-
риал, расположенный в плоскости Π переходит в состояние пластического
течения, не подвергаясь действию касательных напряжений, соответству-
ющее ребру призмы Треска расслоенное поле напряжений является ста-
тически допустимым в пластической зоне, примыкающей к сечению тела
плоскостью Π.
Внимательный анализ приведенного выше доказательства позволяет,
практически не изменяя его, несколько обобщить формулировку утвержде-
ния о существовании соответствующего ребру призмы Треска, расслоенно-
го поля напряжений. Заключение о существовании соответствующего реб-
ру призмы Треска расслоенного поля напряжений оказывается справедли-
вым при следующих условиях: существует хотя бы одна аналитическая по-
верхность, в каждой точке которой нормаль имеет направление главной оси
Ю.Н. Радаев

Страницы