Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

6. Канонические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
53
Для отображений двумерных областей всякое каноническое (в смысле инвариант-
ности приведенного интеграла) отображение сохраняет площадь и обратно, если отоб-
ражение сохраняет площадь, то указанный интеграл будет инвариантом отображения.
Канонические отображения в четномерных пространствах исследовались Пуанкаре
в связи с интегрированием уравнений Гамильтона и теорией интегральных инвариан-
тов [33]. Особые свойства плоских канонических отображений были отмечены в [34].
Изложение теории канонических отображений читатель может найти в классической
монографии [26].
Расслоенное статически допустимое поле напряжений в области G по-
рождает каноническое отображение
x
i
= f
i
(ω
1
,ω
2
,ω
3
)(i =1, 2, 3) (6.1)
некоторой области пространства, арифметизированного переменными ω
j
,
на область пластического течения G.Заметим,чтоω
j
— специальные кри-
волинейные координаты, определяемые ниже по векторному полю n.
Действительно, выделим слой A векторного поля n. Поскольку Гауссо-
ву параметризацию поверхности A можно выбирать в достаточной мере
произвольно, то выберем ее таким образом, чтобы детерминант a первой
квадратичной формы поверхности A принимал в точках поверхности за-
данные значения, равные e
−2Σ
A
,гдеΣ
A
=Σ
A
(x
1
,x
2
,x
3
) — значения Σ на
слое A.
С целью обоснования возможности подобного выбора (по крайней мере для анали-
тического слоя) рассмотрим Гауссову геодезическую параметризацию поверхности A
([28], с. 252)
x
1
= x
1
(u
1
,u
2
),x
2
= x
2
(u
1
,u
2
),x
3
= x
3
(u
1
,u
2
)
такую, что элемент длины поверхности есть
ds
2
=(du
1
)
2
+ a
22
(u
1
,u
2
)(du
2
)
2
,
где можно считать, что
a
22
(0,u
2
)=1,
∂a
22
∂u
1
u
1
=0
=0.
Гауссова геодезическая параметризация поверхности получается, если зафиксиро-
вать на поверхности некоторую геодезическую кривую C, затем провести через каждую
ее точку ортогональную геодезическую и в качестве параметра u
2
выбрать переменную
длину дуги вдоль C,авкачествеu
1
— расстояние, измеряемое от кривой C вдоль гео-
дезической.
Ясно, что a =detka
αβ
k = a
22
. Кроме того, можно считать заданной функцию
f(u
1
,u
2
)=Σ
A
(x
1
(u
1
,u
2
),x
2
(u
1
,u
2
),x
3
(u
1
,u
2
)).
Заменим далее параметризацию поверхности
˜u
1
=˜u
1
(u
1
,u
2
), ˜u
2
=˜u
2
(u
1
,u
2
)
Ю.Н. Радаев

Страницы