ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
54
6. Канонические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
и потребуем, чтобы новая координатная сетка на поверхности была ортогональна, кри-
вая C в новых координатах задавалась уравнением ˜u
1
=0, параметр ˜u
2
вдоль C совпа-
дал с u
2
и выполнялось условие
˜a = e
−2f (u
1
(˜u
1
,˜u
2
),u
2
(˜u
1
,˜u
2
))
.
В силу
√
˜a =
∂(u
1
,u
2
)
∂(˜u
1
, ˜u
2
)
√
a
это возможно, только если
∂ ˜u
1
∂u
1
∂ ˜u
2
∂u
2
−
∂ ˜u
1
∂u
2
∂ ˜u
2
∂u
1
=
p
a
22
(u
1
,u
2
) e
f (u
1
,u
2
)
,
∂ ˜u
1
∂u
1
∂ ˜u
1
∂u
2
+
∂ ˜u
2
∂u
1
∂ ˜u
2
∂u
2
=0,
наряду с условиями
˜u
1
(0,u
2
)=0, ˜u
2
(0,u
2
)=u
2
.
Полученная система уравнений приводится к нормальному по переменной u
1
виду
с аналитической в окрестности кривой C правой частью:
∂ ˜u
1
∂u
1
=
p
a
22
(u
1
,u
2
) e
f (u
1
,u
2
)
∂ ˜u
2
∂u
2
∂ ˜u
1
∂u
2
2
+
∂ ˜u
2
∂u
2
2
,
∂ ˜u
2
∂u
1
= −
p
a
22
(u
1
,u
2
) e
f (u
1
,u
2
)
∂ ˜u
1
∂u
2
∂ ˜u
1
∂u
2
2
+
∂ ˜u
2
∂u
2
2
,
поэтому задача Коши с данными ˜u
1
(0,u
2
)=0, ˜u
2
(0,u
2
)=u
2
на основании теоремы
Коши—Ковалевской имеет аналитическое решение, что и устанавливает существование
нужной параметризации поверхности A.
Пусть ω
1
,ω
2
— Гауссовы параметры поверхности A, удовлетворяющие
указанному условию на детерминант a. После замены переменной ω
3
= e
ξ
3
уравнения (5.5) приводятся к следующему виду (k, r, p, s =1, 2, 3):
∂f
1
∂ω
1
∂f
1
∂ω
3
+
∂f
2
∂ω
1
∂f
2
∂ω
3
+
∂f
3
∂ω
1
∂f
3
∂ω
3
=0,
∂f
1
∂ω
2
∂f
1
∂ω
3
+
∂f
2
∂ω
2
∂f
2
∂ω
3
+
∂f
3
∂ω
2
∂f
3
∂ω
3
=0,
∂f
k
∂ω
3
∂f
k
∂ω
3
"
∂f
p
∂ω
1
∂f
p
∂ω
1
∂f
r
∂ω
2
∂f
r
∂ω
2
−
∂f
s
∂ω
1
∂f
s
∂ω
2
2
#
=1.
(6.2)
Если через J обозначить определитель Якоби отображения (6.1), то по-
следнее уравнение системы (6.2) эквивалентно уравнению J
2
=1. Таким
образом, приходим к заключению, что отображение (6.1) является канони-
ческим.
Пространственная задача математической теории пластичности
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
