Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7.4. Уравнения совместности деформаций в приращениях 79
Характеристическое уравнение системы (7.23) есть
0 ν
3
ν
1
−ν
3
0 ν
2
−ν
2
ν
1
ν
3
=0,
где ν
j
— компоненты единичного вектора нормали к характеристической
поверхности относительно базиса l, m, n. При условии ν
2
1
+ ν
2
2
+ ν
2
3
=1
оно имеет три корня ν
3
=0, ν
3
=1/
√
2, ν
3
= −1/
√
2,т.е.система(7.23)
принадлежит к гиперболическому типу, направления, ортогональные тре-
тьей главной оси напряжений, — характеристические, а остальные харак-
теристические направления расположены на конусе с углом полураствора
π/4 и осью, направленной вдоль третьей главной оси напряжений. Следо-
вательно, система уравнений в приращениях имеет точно такие же харак-
теристические направления, как и система (1.12).
7.4. Уравнения совместности деформаций в прираще-
ниях
Обратимся теперь к уравнениям кинематики пластического течения. В
качестве таковых удобнее всего взять уравнения совместности главных при-
ращений полных деформаций dε
j
, представленные в изостатической кри-
волинейной координатной сетке, вместе с кинематическими уравнениями,
следующими из ассоциированного закона течения, рассмотренными в раз-
деле 1.3. Ассоциированный закон течения устанавливает соосность тензо-
ра напряжений и тензора приращения пластических деформаций, и в слу-
чае, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Треска, —
единственное дополнительное кинематическое соотношение, выражающее
несжимаемость пластического течения.
51
Уравнения совместности деформаций пригодны при любой определяю-
щей зависимости и в инвариантной форме для приращения тензора дефор-
маций представляются тензорным уравнением (см. [43], с. 223)
∇ ×dP = 0, (7.24)
где тензор второго ранга dP есть с точностью до знака ротор тензора при-
ращения полных деформаций: dP = −rotdε = −dε × ∇.
51
Учет упругой деформации обуславливает несоосность тензоров dε и σ. Однако по-прежнему соот
ношения ассоциированного закона течения для ребра призмы Треска и определяющий закон упругости
не регламентируют жестко приращения dε
j
(см. (1.52)), устанавливая единственное уравнение в глав
ных осях напряжений, связывающее статические и кинематические поля (1.53). Здесь уместно также
напомнить о точном определении величин dε
j
, dε
E
j
и dε
P
j
и о том, что dε
j
, вообще говоря, не являются
приращениями главных полных деформаций, а используются лишь для обозначения суммы (1.51).
Ю.Н. Радаев

Страницы