Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

80
7. Трехмерные уравнения математической теории пластичности
в ортогональных изостатических координатах
Заметим, что для тензора dP оказывается справедливой также следую-
щая формула: dP =(∇ × dε)
T
.
52
Для удобства обозначим через dS тензор второго ранга, определяемый
соотношением
dS = ∇ × (dε) × ∇. (7.25)
В этом уравнении безразличен порядок выполнения операции векторного
умножения. Тензор dS называется тензором несовместности.
Тензор несовместности dS симметричен:
dS =(dS)
T
(7.26)
и может быть вычислен также по формуле
−dS =((∇ · ∇)trdε − ∇ · (∇ · dε))I + ∇ ⊗ (∇ · dε)+
+(∇ ⊗(∇ · dε))
T
−(∇ · ∇)dε − ∇ ⊗ ∇trdε.
(7.27)
Поскольку (∇×dε)
T
= −(dε×∇), dP =(∇×dε)
T
= −(dε)×∇, тензор
−dS в точности равен тензору ∇ ×dP. Следовательно, условия совместно-
сти деформаций в приращениях представляются тензорным уравнением
dS = 0. (7.28)
Физические компоненты dS
<jl>
тензора dS в произвольной ортогональной криволи
нейной системе координат вычисляются по формулам ([47], с. 662-664)
dS
<11>
=
1
√
g
22
√
g
33
∂
∂ξ
2
1
√
g
22
∂(
√
g
22
dε
<32>
)
∂ξ
3
−
∂(
√
g
33
dε
<33>
)
∂ξ
2
+
dε
<12>
√
g
11
∂
√
g
33
∂ξ
1
+
+
dε
<23>
√
g
22
∂
√
g
22
∂ξ
3
+
dε
<22>
√
g
22
∂
√
g
33
∂ξ
2
−
−
1
√
g
22
√
g
33
∂
∂ξ
3
1
√
g
33
∂(
√
g
22
dε
<22>
)
∂ξ
3
−
∂(
√
g
33
dε
<23>
)
∂ξ
2
−
−
dε
<32>
√
g
33
∂
√
g
33
∂ξ
2
−
dε
<13>
√
g
11
∂
√
g
22
∂ξ
1
+
dε
<33>
√
g
33
∂
√
g
22
∂ξ
3
+
+
1
g
11
√
g
22
√
g
33
∂
√
g
33
∂ξ
1
∂(
√
g
11
dε
<21>
)
∂ξ
2
−
∂(
√
g
22
dε
<22>
)
∂ξ
1
+
+
1
√
g
11
√
g
33
∂
√
g
33
∂ξ
1
dε
<31>
√
g
22
√
g
33
∂
√
g
22
∂ξ
3
+
dε
<12>
√
g
22
√
g
11
∂
√
g
11
∂ξ
2
+
dε
<11>
√
g
22
√
g
11
∂
√
g
22
∂ξ
1
−
−
1
g
11
√
g
22
√
g
33
∂
√
g
22
∂ξ
1
∂(
√
g
33
dε
<33>
)
∂ξ
1
−
∂(
√
g
11
dε
<31>
)
∂ξ
3
+
+
1
√
g
11
√
g
22
∂
√
g
22
∂ξ
1
dε
<21>
√
g
22
√
g
33
∂
√
g
33
∂ξ
2
+
dε
<13>
√
g
33
√
g
11
∂
√
g
11
∂ξ
3
+
dε
<11>
√
g
33
√
g
11
∂
√
g
33
∂ξ
1
,
52
Дифференциальный оператор Rot = ∇ ×(∇×)
T
широко используется в теории дислокаций. Урав-
нение совместности для приращений тензора полных деформаций с использованием этого оператора
записывается просто как Rotdε = 0.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы