Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

82
7. Трехмерные уравнения математической теории пластичности
в ортогональных изостатических координатах
−dS
23
= −
∂
2
dε
11
∂x
2
∂x
3
+
∂
∂x
1
−
∂dε
23
∂x
1
+
∂dε
31
∂x
2
+
∂dε
12
∂x
3
,
−dS
31
= −
∂
2
dε
22
∂x
3
∂x
1
+
∂
∂x
2
∂dε
23
∂x
1
−
∂dε
31
∂x
2
+
∂dε
12
∂x
3
,
−dS
12
= −
∂
2
dε
33
∂x
1
∂x
2
+
∂
∂x
3
∂dε
23
∂x
1
+
∂dε
31
∂x
2
−
∂dε
12
∂x
3
.
Это известные формулы Сен-Венана.
Компоненты тензора несовместности dS в декартовой системе коорди
нат могут быть найдены также в виде
−dS
il
=(∂
j
∂
j
dε
kk
−∂
j
∂
k
dε
jk
)δ
il
+ ∂
i
∂
k
dε
lk
+ ∂
l
∂
k
dε
ki
−
−∂
j
∂
j
dε
li
− ∂
i
∂
l
dε
kk
.
Обычно считается, что независимых уравнений совместности должно
быть шесть (т.к. тензор −dS = ∇ × dP симметричен).
На самом деле ситуация несколько сложнее.
53
Действительно, оказы
вается, что тензор dS удовлетворяет, как это следует из его определения
(7.25), уравнению
54
∇ ·dS = 0. (7.29)
Следовательно, независимых условий должно быть всего три.
Используя приведенные выше выражения для компонент тензора dS
в декартовой системе координат, прямым подсчетом можно показать, что
векторное уравнение (7.29) эквивалентно трем скалярным:
∂
1
dS
11
+ ∂
2
dS
12
+ ∂
3
dS
31
=0,
∂
1
dS
12
+ ∂
2
dS
22
+ ∂
3
dS
23
=0,
∂
1
dS
31
+ ∂
2
dS
23
+ ∂
3
dS
33
=0.
На первый взгляд может показаться, что три независимых условия в де
картовой системе координат могут составить либо три уравнения dS
11
=0,
dS
22
=0,dS
33
=0, либо три уравнения dS
23
=0,dS
31
=0,dS
12
=0.
Однако ни три условия первой группы, ни три условия второй группы по
отдельности использовать нельзя (см., например, [48]). Известно [49], что
если три условия первой группы удовлетворяются внутри некоторой од
носвязной области, а вторая тройка условий на границе этой области, то
все три условия второй группы будут удовлетворяться внутри области. Ана
логичное утверждение будет справедливо, если поменять группы условий
местами.
53
Хотя условия совместности деформаций были известны уже Сен-Венану, в настоящее время нет
полной ясности в вопросе о числе независимых условий совместности.
54
Приводимое ниже уравнение в тензорном анализе традиционно называется тождеством Бианки
(L. Bianchi) (см. по этому поводу Схоутен А.Я. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. С.
146, 147).
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы