Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

78
7. Трехмерные уравнения математической теории пластичности
в ортогональных изостатических координатах
Изменение ориентаций базисных векторов на основании (7.18)и(7.19)
вычисляется как
dl = −ndω
2
+ mdω
3
,dm = ndω
1
− ldω
3
,dn = −mdω
1
+ ldω
2
. (7.20)
Дифференцируя спектральное разложение тензора напряжений (1.5)
вдоль процесса нагружения и учитывая (7.20), получим
dσ = l ⊗ ldσ
1
+ m ⊗ mdσ
2
+ n ⊗ ndσ
3
+ l ⊗m(σ
1
−σ
2
)dω
3
+
+l ⊗ n(σ
3
− σ
1
)dω
2
+ m ⊗ l(σ
1
−σ
2
)dω
3
+
+m ⊗n(σ
2
− σ
3
)dω
1
+ n ⊗ l(σ
3
−σ
1
)dω
2
+
+n ⊗ m(σ
2
−σ
3
)dω
1
.
(7.21)
Для дальнейших преобразований будем использовать следующие типич-
ные формулы вида:
∇ · (ϕl ⊗ l)=l
∂ϕ
∂l
+ ϕl(∇ · l)+ϕ(l · ∇)l,
∇ · (ϕl ⊗ n)=n
∂ϕ
∂l
+ ϕn(∇ · l)+ϕ(l · ∇)n,
атакже(7.7)и(7.8).
После ряда довольно сложных преобразований в итоге можно получить
следующее представление уравнения равновесия в приращениях ∇·dσ = 0
в ортогональных изостатических координатах:
d
1
dσ
1
+ κ
23
(dσ
1
−dσ
2
)+κ
32
(dσ
1
−dσ
3
)+(2κ
13
+ κ
31
+ d
2
)[(σ
1
− σ
2
)dω
3
]+
+(2κ
12
+ κ
21
+ d
3
)[(σ
3
−σ
1
)dω
2
]=0,
d
2
dσ
2
+ κ
31
(dσ
2
−dσ
3
)+κ
13
(dσ
2
−dσ
1
)+(2κ
23
+ κ
32
+ d
1
)[(σ
1
− σ
2
)dω
3
]+
+(2κ
21
+ κ
12
+ d
3
)[(σ
2
−σ
3
)dω
1
]=0,
d
3
dσ
3
+ κ
12
(dσ
3
−dσ
1
)+κ
21
(dσ
3
−dσ
2
)+(2κ
32
+ κ
23
+ d
1
)[(σ
3
− σ
1
)dω
2
]+
+(2κ
31
+ κ
13
+ d
2
)[(σ
2
−σ
3
)dω
1
]=0.
(7.22)
Второе и третье уравнения получаются из первого путем циклической
перестановки индексов.
При догружении вдоль ребра σ
1
= σ
2
= σ
3
− 2k приведенные выше
уравнения несколько упрощаются
d
1
dσ
3
+2k(2κ
12
+ κ
21
+ d
3
)dω
2
=0,
d
2
dσ
3
− 2k(2κ
21
+ κ
12
+ d
3
)dω
1
=0,
d
3
dσ
3
+2k(2κ
32
+ κ
23
+ d
1
)dω
2
− 2k(2κ
31
+ κ
13
+ d
2
)dω
1
=0,
(7.23)
образуя замкнутую систему относительно приращений dσ
3
, dω
1
, dω
2
.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы