Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

76
7. Трехмерные уравнения математической теории пластичности
в ортогональных изостатических координатах
Чтобы преобразовать уравнения (7.13)кформе(4.3), достаточно вос-
пользоваться (7.5)и(7.9).
Заметим, что в силу σ
1
= σ
2
любое направление, ортогональное n,яв-
ляется главным, поэтому на слое поля n всегда можно выбрать изостати-
ческие траектории так, что первая из них будет касаться поля s = −ν,
а вторая — поля rot n. Напомним, что вектор s имеет направление, проти-
воположное направлению главной нормали векторной линии поля n;поле
rot n направлено вдоль бинормали векторной линии поля n. Тогда на осно-
вании (3.18)–(3.20) можно заключить, что
∂σ
3
∂s
2
=0,
∂σ
3
∂s
1
+2k |∇ × n| =0,
∂σ
3
∂s
3
+2k∇ · n =0,
(7.14)
где ∂/∂s
1
— производная по направлению ν (по направлению главной нор-
мали линии поля n), ∂/∂s
2
— производная по направлению rot n (по направ-
лению бинормали линии поля n), ∂/∂s
3
— производная по направлению n.
Ясно, что наибольшее (наименьшее) главное напряжение не изменяется
вдоль векторных линий поля бинормалей к линиям поля n.
Соотношения (7.14), очевидно, могут быть представлены также в форме
∂σ
3
∂s
2
=0,
∂σ
3
∂s
1
+2kκ =0,
∂σ
3
∂s
3
+2k(κ
1
+ κ
2
)=0.
(7.15)
7.2. Деривационные формулы
Деривационные формулы выражают перестановочность порядка част-
ного дифференцирования единичных локальных базисных векторов орто-
гональной криволинейной координатной системы. В трехмерном простран-
стве таких формул будет шесть (см. [46], с. 33, или [47], p. 649). Это —
соотношения вида
∂
∂ξ
3
1
√
g
33
∂
√
g
11
∂ξ
3
+
∂
∂ξ
1
1
√
g
11
∂
√
g
33
∂ξ
1
+
1
g
22
∂
√
g
33
∂ξ
2
∂
√
g
11
∂ξ
2
=0
и вида
∂
2
√
g
11
∂ξ
2
∂ξ
3
=
1
g
22
∂
√
g
11
∂ξ
2
∂
√
g
22
∂ξ
3
+
1
g
33
∂
√
g
11
∂ξ
3
∂
√
g
33
∂ξ
2
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы