Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7.1. Трехмерные уравнения равновесия в ортогональных изостатических
координатах
75
Учитывая результат (7.10), получаем κ
12
= − (∂
2
11
Φ)|
x
1
=0,x
2
=0
, κ
21
= − (∂
2
22
Φ)|
x
1
=0,x
2
=0
и приходим к формуле (7.11).
Подобным же образом можно доказать справедливость формул (7.8). Рассмотрим,
например, выражение n · [(l · ∇)l]. Пусть уравнения x
1
= x
1
(L
1
), x
2
= x
2
(L
1
), x
3
=
Φ(x
1
(L
1
),x
2
(L
1
)) — натуральная параметризация первой изостатической траектории. Обо-
значая штрихом дифференцирование по натуральному параметру L
1
, находим, что
вдоль первой изостаты
l =
x
0
1
i + x
0
2
j +(x
0
1
∂
1
Φ+x
0
2
∂
2
Φ)k
q
x
0
1
2
+ x
0
2
2
+(x
0
1
∂
1
Φ+x
0
2
∂
2
Φ)
2
,
где, очевидно x
0
1
2
+ x
0
2
2
+(x
0
1
∂
1
Φ+x
0
2
∂
2
Φ)
2
=1.
Принимая во внимание, что (l · ∇)l = l
0
, и выполняя дифференцирование вектора
l вдоль первой изостаты, получаем
n · [(l ·∇)l]=(∂
2
11
Φ)x
0
1
2
+(∂
2
22
Φ)x
0
2
2
+2(∂
2
12
Φ)x
0
1
x
0
2
,
где значения всех производных должны вычисляться в начале локальной системы ко-
ординат. Учитывая далее, что в начале локальной системы координат x
0
1
= ±1,x
0
2
=
0,x
0
3
=0, приходим к искомому равенству
n · [(l · ∇)l]=(∂
2
11
Φ)
x
1
=0,x
2
=0
= −κ
12
.
Обозначая через d
k
производную по направлению изостатической тра-
ектории
d
dL
k
=
1
√
g
kk
∂
∂ξ
k
(по k не суммировать (k =1, 2, 3))
и вводя кривизны κ
ij
, приведем уравнения Ламе (7.4) к виду (ср. [44], с.
43, уравнение (20))
d
1
σ
1
+ κ
23
(σ
1
−σ
2
)+κ
32
(σ
1
−σ
3
)=0,
d
2
σ
2
+ κ
31
(σ
2
−σ
3
)+κ
13
(σ
2
−σ
1
)=0,
d
3
σ
3
+ κ
12
(σ
3
−σ
1
)+κ
21
(σ
3
−σ
2
)=0.
(7.12)
Cистема уравнений (4.3) может быть также выведена из уравнений Ла-
ме (7.4) — уравнений равновесия, представленных в ортогональной криво-
линейной сетке изостат.
Для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска
с максимальным собственным значением σ
3
, уравнения Ламе приобретают
весьма простой вид:
d
1
σ
3
−
2k
κ
−1
32
=0,
d
2
σ
3
−
2k
κ
−1
31
=0,
d
3
σ
3
+
2k
κ
−1
12
+
2k
κ
−1
21
=0.
(7.13)
Ю.Н. Радаев

Страницы