Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

74
7. Трехмерные уравнения математической теории пластичности
в ортогональных изостатических координатах
Нетрудно видеть, что (∂
k
— частная производная по декартовой координате x
k
)
∇ · q =
(∂
2
Φ)
2
∂
2
11
Φ − 2(∂
1
Φ)(∂
2
Φ)∂
2
12
Φ+(∂
1
Φ)
2
∂
2
22
Φ
q
[(∂
1
Φ)
2
+(∂
2
Φ)
2
]
3
.
Так как вдоль каждой кривой указанного семейства имеем x
2
= x
2
(x
1
,c) и
dx
2
dx
1
= −
∂
1
Φ
∂
2
Φ
,
d
2
x
2
dx
2
1
= −
(∂
2
Φ)
2
∂
2
11
Φ − 2(∂
1
Φ)(∂
2
Φ)∂
2
12
Φ+(∂
1
Φ)
2
∂
2
22
Φ
(∂
2
Φ)
3
,
то немедленно находим
∇ · q =
−
d
2
x
2
dx
2
1
v
u
u
t
"
1+
dx
2
dx
1
2
#
3
= κ, (7.10)
где κ — кривизна траектории x
2
= x
2
(x
1
,c).
Покажем, например, что
∇ · n = κ
12
+ κ
21
. (7.11)
Для этого поле n представим как поле нормалей к семейству поверхностей ω(x
1
,x
2
,x
3
)=
x
3
−Φ(x
1
,x
2
)=c:
|∇ω|n = ∇ω.
Подсчитывая дивергенцию n, находим
∇ · n = −
∂
2
11
Φ+∂
2
22
Φ+(∂
2
Φ)
2
∂
2
11
Φ+(∂
1
Φ)
2
∂
2
22
Φ − 2(∂
1
Φ)(∂
2
Φ)∂
2
12
Φ
q
[1 + (∂
1
Φ)
2
+(∂
2
Φ)
2
]
3
.
Далее в той точке, где вычисляется значение ∇ · n, введем локальную декарто-
ву систему координат, ориентированную вдоль главных осей напряжений, сохранив за
коодинатами прежние обозначения, что представляется естественным, поскольку при-
веденная формула сохраняет свой вид. Ясно, что
(∂
1
Φ)|
x
1
=0,x
2
=0
=0, (∂
2
Φ)|
x
1
=0,x
2
=0
=0
и, следовательно,
∇ · n = − (∂
2
11
Φ+∂
2
22
Φ)
x
1
=0,x
2
=0
.
Рассмотрим проекцию первой и второй координатных линий на плоскость, ортого-
нальную второму направлению, и соответственно — первому направлению. Уравнения
этих проекций есть x
3
=Φ(x
1
, 0), x
3
=Φ(0,x
2
). В начале локальной координатной
системы имеем
dx
3
dx
1
=(∂
1
Φ)|
x
1
=0,x
2
=0
=0,
dx
3
dx
2
=(∂
2
Φ)|
x
1
=0,x
2
=0
=0,
атакже
d
2
x
3
dx
2
1
=(∂
2
11
Φ)
x
1
=0,x
2
=0
,
d
2
x
3
dx
2
2
=(∂
2
2
Φ)
x
1
=0,x
2
=0
.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы