Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7.1. Трехмерные уравнения равновесия в ортогональных изостатических
координатах
73
к виду
l
∂σ
1
∂l
+ m
∂σ
2
∂m
+ n
∂σ
3
∂n
+ σ
1
[l(∇ · l)+(l ·∇)l]+σ
2
[m(∇ · m)+(m · ∇)m]+
+σ
3
[n(∇ · n)+(n · ∇)n]=0,
(7.6)
и учитывая, что
∇ · l = κ
32
+ κ
23
, ∇ · m = κ
13
+ κ
31
, ∇ · n = κ
12
+ κ
21
, (7.7)
атакже
l · [(m · ∇)m]=−κ
23
, l · [(n · ∇)n]=−κ
32
,
m · [(l · ∇)l]=−κ
13
, m · [(n · ∇)n]=−κ
31
,
n · [(l · ∇)l]=−κ
12
, n · [(m ·∇)m]=−κ
21
,
(7.8)
где κ
ij
есть кривизна изостаты с номером i в локальной координатной плос-
кости, перпендикулярной направлению j,
50
находим
1
r
12
= κ
23
,
1
r
21
= κ
13
,
1
r
13
= κ
32
,
1
r
31
= κ
12
,
1
r
23
= κ
31
,
1
r
32
= κ
21
. (7.9)
Указанные коэффициенты выражаются также через κ
ij
— нормальную
кривизну координатной линии j на координатной поверхности ξ
i
=const—
по формулам (см., например, [19]):
κ
ij
= −
1
r
ij
.
Заметим, что справедливы соотношения (см. [28], с. 271, 272)
∇ · l = ∇
ξ
1
=const
· l = −κ
13
− κ
12
= −2H
(1)
,
∇ · m = ∇
ξ
2
=const
· m = −κ
21
−κ
23
= −2H
(2)
,
∇ · n = ∇
ξ
3
=const
· n = −κ
31
− κ
32
= −2H
(3)
,
где ∇
ξ
i
=const
— оператор Гамильтона на координатной поверхности ξ
i
=
const, H
(i)
— средняя кривизна поверхности ξ
i
=const.
Доказательство соотношений (7.7) может быть в конце концов сведено к обоснова-
нию того, что для плоского единичного векторного поля q
∇ · q = κ,
где κ — кривизна ортогональных полю q траекторий.
Обоснование же приведенного равенства может быть дано прямым подсчетом ди-
вергенции векторного поля q, представленного как поле нормалей к семейству кривых
Φ(x
1
,x
2
)=c:
|∇Φ|q = ∇Φ.
50
Речь идет о кривизне проекции изостаты с номером i, причем проектирование осуществляется
параллельно направлению j на плоскость, ортогональную этому направлению.
Ю.Н. Радаев

Страницы