Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

72
7. Трехмерные уравнения математической теории пластичности
в ортогональных изостатических координатах
есть симметричный тензор второго ранга относительно преобразований де
картовой системы координат x
1
,x
2
,x
3
.
Таким образом, координата ξ
3
= ξ
3
(x
1
,x
2
,x
3
) должна удовлетворять
уравнению
48
L[ξ
3
]=0. (7.3)
Весьма примечательным свойством изостатической координатной сетки
явлется то, что координатные линии ξ
1
и ξ
2
, расположенные на поверхности
ξ
3
=const, будут линиями кривизны этой поверхности.
49
7.1. Трехмерные уравнения равновесия в ортогональ-
ных изостатических координатах
Если изостатическая координатная система существует, то уравнения
равновесия сводятся к трем соотношениям вдоль изостат, известным как
уравнения Ламе (G. Lame) (см., например, [43], с. 230-232; [45], p. 91; [44],
с. 42, 43):
dσ
1
dL
1
+
σ
1
− σ
2
r
12
+
σ
1
− σ
3
r
13
=0,
dσ
2
dL
2
+
σ
2
− σ
3
r
23
+
σ
2
− σ
1
r
21
=0,
dσ
3
dL
3
+
σ
3
− σ
1
r
31
+
σ
3
− σ
2
r
32
=0,
(7.4)
где L
1
,L
2
,L
3
натуральные параметры, измеряемые вдоль взаимно орто
гональных изостат;
1
r
13
=
1
√
g
11
∂
∂ξ
1
ln
√
g
33
,
1
r
23
=
1
√
g
22
∂
∂ξ
2
ln
√
g
33
,
1
r
31
=
1
√
g
33
∂
∂ξ
3
ln
√
g
11
,
1
r
32
=
1
√
g
33
∂
∂ξ
3
ln
√
g
22
,
1
r
12
=
1
√
g
11
∂
∂ξ
1
ln
√
g
22
,
1
r
21
=
1
√
g
22
∂
∂ξ
2
ln
√
g
11
.
(7.5)
Коэффициенты 1/r
ij
в уравнениях (7.4) могут быть выражены через
кривизны изостат в соответствующих локальных координатных плоско
стях.
Действительно, преобразуя уравнение равновесия
∇ · (l ⊗lσ
1
+ m ⊗ mσ
2
+ n ⊗ nσ
3
)=0
48
То же самое относится и к канонической координате ω
3
= ω
3
(x
1
,x
2
,x
3
).
49
Доказательство этого факта приводится, например, в [19]. Вообще, если три поверхности пересека-
ются взаимно под прямыми углами, то кривые пересечения являются линиями кривизны на каждой
поверхности.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы