Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7. Трехмерные уравнения математической теории пластичности в ортогональных
изостатических координатах
71
Анализируя соотношения вдоль характеристик, записанные для сторон
криволинейного характеристического четырехугольника, диагоналями ко-
торого являются дуги изостатических траекторий, можно, учитывая, что
переменные ω
1
, ω
3
не изменяются на соответствующих диагоналях, полу-
чить условия, характеризующие геометрию поля скольжения при осесим-
метричном течении. Эти условия, в отличие от таковых для плоского пла-
стического течения, являются неизмеримо более сложными.
7. Трехмерные уравнения математической тео-
рии пластичности в ортогональных изоста-
тических координатах
Поля напряжений, допускающие введение ортогональных изостатиче-
ских координат, заведомо являются расслоенными, но возможность выбора
изостат в качестве взаимно ортогональных координатных линий позволяет
продвинуться несколько дальше в анализе общих трехмерных уравнений
математической теории пластичности (см. [42]).
Изостаты отнюдь не всегда образуют сетку, которая допускает подбор
ортогональных криволинейных координат ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
так, чтобы изостаты
совпадали с координатными линиями. Необходимое и достаточное условие
этого — одновременное выполнение равенств
l · rot l =0, m · rot m =0, n · rot n =0. (7.1)
Если n — слоистое векторное поле и поверхности уровня скалярного по-
ля ω(x
1
,x
2
,x
3
) задают слои поля n, то необходимое и достаточное условие
того, чтобы семейство поверхностей уровня могло быть дополнено до три-
жды ортогональной системы поверхностей, выражается уравнением Кэли—
Дарбу (A. Cayley, G. Darboux):
47
L[ω]=
c
11
c
22
c
33
2c
12
2c
23
2c
31
∂
2
11
ω∂
2
22
ω∂
2
33
ω 2∂
2
12
ω 2∂
2
23
ω 2∂
2
31
ω
111 0 0 0
∂
1
ω 00∂
2
ω 0 ∂
3
ω
0 ∂
2
ω 0 ∂
1
ω∂
3
ω 0
00∂
3
ω 0 ∂
2
ω∂
1
ω
=0, (7.2)
где
c
ij
=
3
X
k=1
(∂
k
ω)(∂
3
ijk
ω) − 2(∂
2
ik
ω)(∂
2
jk
ω)
47
См., например: Математическая энциклопедия. Т. 3. / Под ред. акад. И.М. Виноградова. М.: Сов.
энциклопедия, 1982. С. 159. См. также [24], с. 62-70; [19], с. 92-100. Задача о включении однопарамет
рического семейства поверхностей в трижды ортогональную систему известна как проблема Кэли.
Ю.Н. Радаев

Страницы