Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

6.2. Канонические координаты осесимметричной задачи 69
наклона к оси x
1
характеристик первого семейства.
46
Введем специальную
параметризацию характеристик первого семейства, приняв угол ι качестве
параметра:
x
1
=
Z
cos ι
κ
1
(ι)
dι, x
3
=
Z
sin ι
κ
1
(ι)
dι,
где
κ
1
= κ
1
(ι) — кривизна первой характеристической линии, выраженная
в зависимости от угла ι. Характеристическое соотношение (6.46) тогда пред-
ставляется в виде
d
dι
∇ω
1
3
−3
∇ω
1
3
=
6
√
2
cos ι(cos ι +sinι)
4
d
dι
ln
Z
cos ι
κ
1
(ι)
dι.
Полученное уравнение интегрируется вдоль первой характеристики:
∇ω
1
=
√
2
3
√
3e
ι
3
v
u
u
u
t
const +
Z
e
−3ι
κ
1
(ι)(cos ι +sinι)
4
Z
cos ι
κ
1
(ι)
dι
dι, (6.50)
это означает, что вдоль первой характеристики модуль градиента канони-
ческой переменной находится с помощью квадратур, если известна зависи-
мость
κ
1
= κ
1
(ι).
Интеграл (6.50) позволяет найти инвариант, значения которого не из-
меняются вдоль первой характеристической линии:
e
−3ι
∇ω
1
3
6
√
2
−
Z
e
−3ι
κ
1
(ι)(cos ι +sinι)
4
Z
cos ι
κ
1
(ι)
dι
dι =const. (6.51)
Принимая далее во внимание, что вдоль первой характеристической
линии
∇ω
1
2
=2
dω
1
dι
2
κ
1
2
,
и предполагая, что каноническая переменная ω
1
возрастает с увеличением
угла ι, находим уравнение
dω
1
dι
=
3
√
3e
ι
κ
1
3
v
u
u
u
t
const +
Z
e
−3ι
κ
1
(ι)(cos ι +sinι)
4
Z
cos ι
κ
1
(ι)
dι
dι, (6.52)
46
Ясно, что справедливо равенство γ +
π
4
= ι.
Ю.Н. Радаев

Страницы