Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

6.2. Канонические координаты осесимметричной задачи 67
˜
P =
∂ω
1
∂x
1
,
˜
Q =
∂ω
1
∂x
3
,
˜
R =
∂
2
ω
1
∂x
2
1
,
˜
S =
∂
2
ω
1
∂x
1
∂x
3
,
˜
T =
∂
2
ω
1
∂x
2
3
. (6.39)
Учитывая следующие соотношения между производными
R = −
˜
R
˜
P
3
,S=
˜
R
˜
Q −
˜
S
˜
P
˜
P
3
,T= −
˜
R
˜
Q
2
− 2
˜
S
˜
P
˜
Q +
˜
T
˜
P
2
˜
P
3
;
P =
1
˜
P
,Q= −
˜
Q
˜
P
,
(6.40)
уравнение (6.33) можно представить в форме
(
˜
P
2
−
˜
Q
2
)(
˜
T −
˜
R) −4
˜
P
˜
Q
˜
S +(
˜
P
2
+
˜
Q
2
)
˜
P
−4
x
−1
1
=0. (6.41)
Это уравнение принадлежит к гиперболическому типу, так как его дис-
криминант в точности равен (
˜
P +
˜
Q)
2
. Нарушение гиперболичности воз-
можно только при условии
˜
P +
˜
Q =0,т.е.когдаω
1
= ω
1
(x
1
,x
3
) является
интегралом уравнения
∂ω
1
∂x
1
+
∂ω
1
∂x
3
=0.
Последнее уравнение без труда интегрируется: ω
1
= ω
1
(x
1
− x
3
).
Корни характеристического уравнения есть
λ
1
=
˜
P +
˜
Q
˜
P −
˜
Q
,λ
2
= −
˜
P −
˜
Q
˜
P +
˜
Q
,
и они удовлетворяют условию λ
1
= −λ
−1
2
, что указывает на ортогональ-
ность характеристических направлений.
Составляя характеристические соотношения для уравнения (6.41), на-
ходим:
dx
3
=
˜
P +
˜
Q
˜
P −
˜
Q
dx
1
,
(
˜
P
2
−
˜
Q
2
)d
˜
P − (
˜
P −
˜
Q)
2
d
˜
Q −
˜
P
2
+
˜
Q
2
x
1
˜
P
4
dx
1
=0,
dω
1
−
˜
Pdx
1
−
˜
Qdx
3
=0;
(6.42)
dx
3
= −
˜
P −
˜
Q
˜
P +
˜
Q
dx
1
,
(
˜
P
2
−
˜
Q
2
)d
˜
P +(
˜
P +
˜
Q)
2
d
˜
Q −
˜
P
2
+
˜
Q
2
x
1
˜
P
4
dx
1
=0,
dω
1
−
˜
Pdx
1
−
˜
Qdx
3
=0.
(6.43)
Ю.Н. Радаев

Страницы