Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

66
6. Канонические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
Дискриминант уравнения (6.33) равен q
2
, поэтому уравнение принадле-
жит к гиперболическому типу.
Уравнения характеристик имеют следующий вид [39]:
q(p −1)dω
1
+(p
2
+1)dx
3
=0,du−pdx
3
−qdω
1
=0,
q(p
2
− 1)(p
2
+1)
−1
dp − (p − 1)dq + qu
−1
dx
3
=0;
(6.34)
q(p +1)dω
1
+(p
2
+1)dx
3
=0,du− pdx
3
− qdω
1
=0,
q(p
2
− 1)(p
2
+1)
−1
dp − (p +1)dq + qu
−1
dx
3
=0.
(6.35)
Если ввести обозначения:
Ξ=
1
2
ln(1 + p
2
) − ln |q| + arctg p,
Θ=
1
2
ln(1 + p
2
) − ln |q|−arctg p,
Ψ=lnu,
то соотношения вдоль характеристик (третьи уравнения систем (6.34)и
(6.35)) можно представить в форме:
d(Ξ − Ψ) + tg
Ξ − Θ
2
dΞ=0, (6.36)
d(Θ − Ψ) − tg
Ξ − Θ
2
dΘ=0. (6.37)
Эти уравнения симметричны относительно переменных Ξ, Θ: уравне-
ние (6.37) получается из уравнения (6.36) заменой Ξ на Θ и, соответствен-
но, Θ на Ξ. Ни одно из характеристических соотношений (6.36), (6.37)не
интегрируемо.
Следует отметить также, что симметрия соотношений вдоль характери-
стик здесь достигается вследствие перехода от физической плоскости ϕ =0
к плоскости переменных x
3
,ω
1
(соотношения (6.36), (6.37) справедливы
вдоль характеристических линий, расположенных в плоскости x
3
,ω
1
).
Уравнению (6.33) можно придать несколько более симметричную фор-
му, если изменить роль зависимых и независимых переменных: будем пола-
гать, что переменная u (которая по смыслу есть координата x
1
) является
независимой и, следовательно, ω
1
= ω
1
(x
1
,x
3
).
45
Введем обозначения Монжа:
P =
∂u
∂ω
1
,Q=
∂u
∂x
3
,R=
∂
2
u
∂(ω
1
)
2
,S=
∂
2
u
∂ω
1
∂x
3
,T=
∂
2
u
∂x
2
3
; (6.38)
45
До конца этого раздела изложение будет следовать статье: Радаев Ю.Н. Дополнительные теоремы
теории плоской и осесимметричной задачи математической теории пластичности// Вестник Самарско
го гос. университета. Естественнонаучная серия. №2(32). 2004. С. 41-61.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы