ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6.2. Канонические координаты осесимметричной задачи 65
Дискриминант характеристического уравнения для (6.31) в точности
равен
8[(R
2
+2P )(S
2
− RT) − PS
2
].
Так как 2P = x
2
1
≥ 0, то гиперболичность уравнения (6.31) гарантирована
при выполнении условия
RT < 0,
а эллиптичность —
S
2
−RT < 0.
В плоскости x
1
,x
3
интегральные кривые поля n определяются уравне-
нием 1/2x
2
1
= ∂Ω(x
3
,ω
1
)/∂x
3
при фиксированном значении ω
1
.Еслиθ —
наклон траектории поля n косиx
1
,то
tgθ =
s
2
∂Ω(x
3
,ω
1
)
∂x
3
ω
1
=const
∂
2
Ω(x
3
,ω
1
)
∂x
2
3
ω
1
=const
. (6.32)
Кроме того, для канонических координат ω
j
: g =1, следовательно,
согласно формулам (4.3), 2Σ = ln g
33
+ C и, вводя в это выражение произ-
водящую функцию, получим:
2Σ = ln
("
1+
1
2
∂
2
Ω
∂x
2
3
2
∂Ω
∂x
3
−1
#
∂
2
Ω
∂x
3
∂ω
1
−2
)
+ C,
или (ср. с (6.21))
σ
3
±k
=ln
"
sin
2
θ
∂
2
Ω
∂x
3
∂ω
1
2
#
− C =ln(sin
2
θS
2
) − C.
Поэтому поля σ
3
и n определяются только через посредство производ-
ной ∂Ω/∂x
3
.
Для функции u =(2∂Ω/∂x
3
)
1/2
имеем квазилинейное уравнение второ-
го порядка, являющееся следствием уравнения (6.31):
q
2
p
2
− 1
p
2
+1
r − 2pqs +(p
2
+1)t +
q
2
u
=0, (6.33)
где использованы обозначения Монжа:
p =
∂u
∂x
3
,q=
∂u
∂ω
1
,r=
∂
2
u
∂x
2
3
,s=
∂
2
u
∂x
3
∂ω
1
,t=
∂
2
u
∂(ω
1
)
2
.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
