Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

64
6. Канонические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
Введем производящую функцию Ω(x
3
,ω
1
) канонического отображения
(6.29):
H =
∂Ω(x
3
,ω
1
)
∂x
3
,ω
3
=
∂Ω(x
3
,ω
1
)
∂ω
1
. (6.30)
Формулы (6.30) соответствуют положительному знаку во втором урав-
нении (6.28).
Второе уравнение системы (6.28) удовлетворяется тождественно в силу
(6.30). Первое уравнение системы (6.28) позволяет получить следующее
нелинейное уравнение относительно производящей функции:
2
∂Ω
∂x
3
∂
2
Ω
∂(ω
1
)
2
=
"
∂
2
Ω
∂x
3
∂ω
1
2
−
∂
2
Ω
∂x
2
3
∂
2
Ω
∂(ω
1
)
2
#
∂
2
Ω
∂x
2
3
. (6.31)
Уравнение (6.31) инвариантно относительно преобразования Ампера
(A. Ampere).
44
Вводя переменные по формулам
x
∗
3
= x
3
,ω
1
∗
= −
∂Ω
∂ω
1
, Ω
∗
=Ω−ω
1
∂Ω
∂ω
1
,
в обозначениях Монжа
P =
∂Ω
∂x
3
,Q=
∂Ω
∂ω
1
,
R =
∂
2
Ω
∂x
2
3
,S=
∂
2
Ω
∂x
3
∂ω
1
,T=
∂
2
Ω
∂(ω
1
)
2
имеем:
P
∗
= P, Q
∗
= ω
1
, Ω
∗
=Ω−ω
1
Q, R
∗
=
S
2
− RT
−T
,S
∗
=
−S
T
,T
∗
=
−1
T
и обратно
P = P
∗
,Q= −ω
1
∗
, Ω=Ω
∗
−ω
1
∗
Q
∗
,R=
R
∗
T
∗
−S
∗2
T
∗
,S=
S
∗
T
∗
,T=
−1
T
∗
.
Подстановка этих формул в уравнение (6.31) приводит к уравнению
2
∂Ω
∗
∂x
∗
3
∂
2
Ω
∗
∂(ω
1
∗
)
2
=
"
∂
2
Ω
∗
∂x
∗
3
∂ω
1
∗
2
−
∂
2
Ω
∗
∂x
∗
3
2
∂
2
Ω
∗
∂(ω
1
∗
)
2
#
∂
2
Ω
∗
∂x
∗
3
2
,
не отличимому по форме от (6.31).
44
По поводу преобразования Ампера см. [41], с. 141, 142. Преобразование Ампера обладает свойством
взаимности (см. Приложение I). Дополнительно заметим, что уравнение (6.7) также инвариантно
относительно преобразования Ампера.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы