Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Статическая неопределимость состояний на грани призмы Кулона–Треска.
Замкнутая система соотношений для течения на грани
119
или также
dε
P
= −Idε
P
1
+2l ⊗ ldε
P
1
+ n ⊗ ndε
P
1
,
где, в отличие от течения на ребре призмы Треска, векторы l и n жестко
предписаны тензором напряжений и заданы, если задан тензор напряже-
ний.
Таким образом, система кинематических уравнений для рассматривае-
мой грани может быть представлена в виде
l · dε
P
= l tr((l ⊗ l) · dε
P
),
n · dε
P
= 0,
tr(dε
P
)=0.
(3.1.10)
Здесь содержится пять независимых скалярных уравнений, т.к. первое
векторное уравнение дает только два независимых скалярных (скалярное
умножение на вектор l приводит к тождеству), второе векторное уравне-
ние — три независимых скалярных, но одно из них (которое получается ска-
лярным умножением на вектор l) следует из первого векторного уравнения
(точнее, из уравнения, которое получается скалярным умножением первого
векторного уравнения на вектор n), а третье — одно скалярное уравнение.
Первое из уравнений (3.1.10) выражает просто тот факт, что вектор
l есть собственный вектор тензора dε
P
, второе устанавливает, что вектор
n — собственный вектор тензора dε
P
с нулевым собственным значением,
третье — пластическую несжимаемость.
Проектируя уравнения (3.1.10) на оси некоторой прямоугольной систе-
мы координат, находим
l
j
dε
P
ij
= l
i
l
k
l
s
dε
P
ks
,
n
j
dε
P
ij
=0,
dε
P
jj
=0.
(3.1.11)
Три компоненты приращения вектора перемещений du
j
, вводимые в
(3.1.11)согласно
2dε
P
ij
= ∂
i
(du
j
)+∂
j
(du
i
),
должны, таким образом, удовлетворять пяти независимым уравнениям.
Следовательно, полученная система кинематических уравнений при тече-
нии на грани призмы Треска не является правильно определенной.
93
93
Состояния на грани призмы Треска, вообще говоря, статически неопределимы. Для состояний на
грани необходимо совместное рассмотрение уравнений (3.1.3), (3.1.10), дополненных условиями норми-
ровки и ортогональности собственных векторов тензора напряжений
l ·l =1, n · n =1, l · n =0,
и соотношениями Коши
2dε = ∇ ⊗ du +(∇ ⊗ du)
T
.
Только тогда получается правильно определенная система соотношений.
Ю.Н. Радаев

Страницы