ВУЗ:
Составители:
3.1. Статическая неопределимость состояний на грани призмы Кулона–Треска.
Замкнутая система соотношений для течения на грани
117
Поэтому уравнения равновесия получаются в виде (ср. (1.2.5))
gradΣ
2
+div(l ⊗ l)+(Σ
3
− Σ
2
)div(n ⊗ n)+
+[n ·grad(Σ
3
− Σ
2
)] n = 0,
(3.1.2)
где введены безразмерные главные напряжения Σ
2
= σ
2
/(2k), Σ
3
= σ
3
/(2k),
или
∇Σ
2
+(l · ∇)l + l(∇ · l)+(Σ
3
− Σ
2
)((n · ∇)n + n(∇ · n))+
+n(n · ∇)(Σ
3
− Σ
2
)=0.
(3.1.3)
К этому уравнению следует присоединить условия нормировки и орто-
гональности
l · l =1, n · n =1, l · n =0.
Ясно, что в общем случае состояния на грани призмы Треска стати-
чески неопределимы, и поэтому приходится привлекать кинематические
уравнения для того, чтобы получить замкнутую систему соотношений.
Проектируя векторное уравнение (3.1.3) на главные оси тензора напря-
жений, определяемые ориентациями l, m, n, находим
направление n:
(n · ∇)Σ
3
+ n · [(l · ∇)l]+(Σ
3
− Σ
2
)(∇ · n)=0; (3.1.4)
направление l:
(l · ∇)Σ
2
+(∇ · l)+(Σ
3
− Σ
2
) {l ·[(n ·∇)n]} =0; (3.1.5)
направление m:
(m · ∇)Σ
2
+ m · [(l · ∇)l]+(Σ
3
− Σ
2
) {m · [(n ·∇)n]} =0. (3.1.6)
Если оказывается возможным введение триортогональной координат-
ной системы с координатными линиями, являющимися линиями главных
напряжений, то полученные только что соотношения можно рассматри-
вать как соотношения вдоль взаимно ортогональных изостат. Тогда мож-
но ввести кривизны κ
ij
(κ
ij
есть кривизна проекции изостаты с номером
i, причем проектирование осуществляется параллельно направлению j на
локальную координатную плоскость, ортогональную этому направлению),
и, учитывая, что (детали см. в разделе 8.2)
∇ · l = κ
32
+ κ
23
, ∇ · m = κ
13
+ κ
31
, ∇ · n = κ
12
+ κ
21
, (3.1.7)
атакже
l · [(m · ∇)m]=−κ
23
, l · [(n · ∇)n]=−κ
32
,
m · [(l · ∇)l]=−κ
13
, m · [(n · ∇)n]=−κ
31
,
n · [(l · ∇)l]=−κ
12
, n · [(m · ∇)m]=−κ
21
,
(3.1.8)
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
