Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

124 Глава 4. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений
безвихревого ∇Φ и расслоенного (и притом вихревого, т.е. с ненулевым
вихрем) векторного поля n
:
96
n = n
+ ∇Φ. (4.2)
Поскольку безвихревое векторное поле заведомо является расслоенным,
то из приведенного рассуждения следует, что произвольное единичное век-
торное поле всегда можно представить в виде суммы двух расслоенных
полей, первое из которых вихревое, а второе — безвихревое.
Теперь представляется возможным обосновать утверждение, сформули-
рованное в разделе 1.3, о том, что для единичного векторного поля условие
n × rot n = 0 выполняется, только если векторное поле n безвихревое.
Воспользуемся представлением (4.2), в котором можно считать, что
n
· rot n
=0.Таккакn × rot n = 0,тоrot n = λn. Предположим об-
ратное, т.е. векторное поле n — вихревое, следовательно, существует такая
точка, где вихрь n ненулевой. Тогда можно считать, что λ>0 всюду в
окрестности указанной точки. Последнее неравенство должно выполняться
одновременно с неравенством |n
| > 0 в той же самой окрестности. Действи-
тельно, если в упомянутой окрестности |n
| =0,товсилу(4.2) необходимо
rot n = 0, что противоречит предположению о том, что поле n — вихревое
в рассматриваемой окрестности.
Построим достаточно малый элемент S слоя поля n
, проходящий че-
рез вихревую точку поля n. На указанном элементе поверхности построим
замкнутый контур L, окружающий выбранную точку. На основании теоре-
мы Стокса заключаем, что циркуляцию вдоль контура L слоистого поля
n
, заведомо равную нулю, можно также вычислить в виде
0=
L
n
· dr =
L
n · dr =

S
|n
|
−1
n
· rot ndS =

S
λ|n
|
−1
n
· ndS,
следовательно, справедливо равенство

S
λ |n
|dS +

S
λ|n
|
−1
n
· ∇ΦdS =0. (4.3)
Так как n — единичное векторное поле и имеет место разложение (4.2),
то
|∇Φ|
2
+ |n
|
2
+2∇Φ · n
=1. (4.4)
96
Это утверждение следует из того факта, что дифференциальная форма n
1
dx
1
+ n
2
dx
2
+ n
3
dx
3
всегда может быть приведена к каноническому виду
n
1
dx
1
+ n
2
dx
2
+ n
3
dx
3
= dΦ+µ
−1
dΨ.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы