Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

126 Глава 4. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений
отношению к полю n поверхностях, а модуль вектора rot n равен кривизне
векторных линий поля n.
Для слоистого векторного поля n, слои которого есть поверхности уров-
ня функции ω(x
1
,x
2
,x
3
), вектор кривизны κ векторной линии поля n мо-
жет быть вычислен по формуле Дарбу (G. Darboux) (см. [24], с. 24):
κ = −∇ ln |∇ω|
−1
+ n(n · ∇ ln |∇ω|
−1
). (4.6)
Удвоенная средняя кривизна 2H поверхности ω(x
1
,x
2
,x
3
) = const вы-
числяется как поверхностная дивергенция единичного вектора нормали
(см. [33], с. 272; правда, мы будем использовать отличающееся знаком выра-
жение для нормальной кривизны и соответственно отличающееся знаком
значение средней кривизны поверхности). Приведем доказательство этого
утверждения, опираясь на основные формулы теории поверхностей в трех-
мерном пространстве.
Введем Гауссову параметризацию ξ
1
, ξ
2
поверхности ω(x
1
,x
2
,x
3
) = const
и локальные ковариантные базисные векторы i
1
, i
2
. При этом параметриза-
цию слоя ω(x
1
,x
2
,x
3
) = const поля n согласуем с направлением поля так,
чтобы выполнялось равенство
n = i
1
× i
2
.
Обозначим через a
µγ
и b
µγ
соответственно коэффициенты первой и второй
квадратичных форм рассматриваемой поверхности.
Определим поверхностный оператор Гамильтона ∇
ω=const
как (см. (1.7.10))
surf(∇)=∇
ω=const
= i
1
∂
∂ξ
1
+ i
2
∂
∂ξ
2
= a
αβ
i
β
∂
∂ξ
α
,
где i
1
, i
2
— локальные контравариантные базисные векторы на поверхности
ω(x
1
,x
2
,x
3
) = const.
Вычисляя поверхностную дивергенцию векторного поля n, находим
surf(∇) · n = ∇
ω=const
· n = a
αβ
i
β
·
∂n
∂ξ
α
и, учитывая формулу Вейнгартена ([33], с. 266)
∂n
∂ξ
α
= −a
µγ
b
µα
i
γ
,
получаем (в [33], с. 267 используется значение средней кривизны H, отли-
чающееся знаком от приводимого ниже)
surf(∇) · n = ∇
ω=const
· n = −a
µα
b
µα
=2H. (4.7)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы