ВУЗ:
Составители:
Глава 4. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений 125
Учитывая это соотношение, равенство (4.3) преобразуем к виду
S
λ |n
|dS +
S
λ|n
|
−1
(1 −|∇Φ|
2
)dS =0.
В силу λ>0 и |n
| > 0 из последнего уравнения следует, что
|∇Φ|
2
+ |n
|
2
=1,
так как в противном случае сумма интегралов не будет равна нулю. Но
тогда на основании (4.4) приходим к выводу, что
∇Φ · n
=0.
Поэтому соотношение (4.3) сводится к следующему:
S
λ |n
|dS =0.
Выполнение этого соотношения оказывается невозможным, так как од-
новременно λ>0 и |n
| > 0 на поверхности S. Полученное противоречие
и доказывает сформулированное утверждение.
Как следует из результатов, полученных в разделе 1, единичное век-
торное поле n, удовлетворяющее уравнению (1.2.8), может быть либо без-
вихревым расслоенным, либо вихревым расслоенным, т.е. векторное поле
n представляется либо только первым, либо только вторым слагаемыми в
(4.2).
Расслоенность векторного поля n и его ненулевая завихренность гаран-
тируют исключение всех вырожденных случаев, рассмотренных в разделе
1.3. Завихренность поля n выступает, таким образом, как признак невы-
рожденности напряженного состояния.
При выполнении условия (4.1)слоиполяn, то есть поверхности семей-
ства S, образуются векторными линиями поля rot n следующим образом:
сначала выбирается некоторая поверхность S так, чтобы поле n касалось ее
в каждой точке, и на поверхности S строится однопараметрическое семей-
ство ортогональных к n траекторий, затем из каждой точки ортогональной
траектории выпускаются векторные линии поля rot n и составляется слой
поля n.
Условие расслоенности поля n (4.1) наряду с формулой Гамильтона
(1.2.26) позволяет однозначно найти ротор поля n:
rot n = κβ,κ= |rot n|. (4.5)
Таким образом, если n является единичным слоистым векторным по-
лем, то векторные линии поля rot n расположены на ортогональных по
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- …
- следующая ›
- последняя »
