Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений 127
С другой стороны, средняя кривизна H поверхности ω(x
1
,x
2
,x
3
)=
const может быть вычислена следующим образом. На каждом слое вектор-
ного поля n имеется система из двух взаимно перпендикулярных семейств
кривых, касательные к которым есть главные нормали и бинормали век-
торных линий поля n. Обозначая через κ
1
, κ
2
нормальные кривизны
97
ука-
занных линий, находим
κ
1
=< n, ν, rot ν >= β · rot ν,
κ
2
=< n, β, rot β >= −ν · rot β.
(4.8)
Учитывая далее, что
2H = κ
1
+ κ
2
= β · rot ν − ν · rot β, (4.9)
и пользуясь тем, что
β · rot ν − ν · rot β =div(ν × β),
находим еще одно выражение для средней кривизны слоя векторного поля
n
2H =div(ν × β)=divn. (4.10)
Следовательно, если n — единичный вектор нормали к поверхностям
уровня ω(x
1
,x
2
,x
3
) = const, то оказывается, что его поверхностная дивер-
генция совпадает с пространственной:
surf(∇) · n = ∇
ω=const
· n = ∇ · n.
97
Напомним, что мы используем выражение для нормальной кривизны кривой на поверхности, от-
личающееся знаком от общепринятого. Соответственно и средняя кривизна H будет отличаться зна-
ком. Здесь мы следуем ”соображению целесообразности”: Лагалли М. Векторное исчисление. М., Л.:
ОНТИ, 1936. 344 с. (см. с. 78). Если имеется некоторая кривая на поверхности, параметризованная
натуральным параметром s, t — единичный вектор, направленный по касательной к кривой в сторону
возрастающих значений параметра s, t
∗
— единичный вектор, расположенный в касательной плоскости
ортогонально вектору t, n — единичный вектор, направленный по нормали к поверхности так, чтобы
векторы t, t
∗
, n образовывали правую тройку, то мы определяем
κ
n
= −
dt
ds
· n,κ
g
=
dt
ds
· t
∗
соответственно как нормальную кривизну (кривизна проекции рассматриваемой кривой на плоскость,
определяемую векторами t, n)игеодезическую кривизну (кривизна проекции рассматриваемой кривой
на касательную плоскость, определяемую векторами t, t
∗
) кривой на поверхности.
Если κ — кривизна той же самой кривой (рассматриваемой как пространственный объект), то спра-
ведливо соотношение
κ
2
= κ
2
n
+ κ
2
g
.
Геодезическое кручение кривой на поверхности определяется как
τ
g
= −
dn
ds
· t
∗
=
dt
∗
ds
· n =< n,
dn
ds
, t >.
Линии кривизны характеризуются нулевым геодезическим кручением.
Ю.Н. Радаев

Страницы