Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений 129
В силу условия (4.1) векторы n, rot n, n ×rot n взаимно ортогональны,
и уравнения (1.4.1)–(1.4.3) приобретают следующий вид:
n · ∇Σ+∇ · n =0, (4.19)
(∇ × n) · ∇Σ=0, (4.20)
s · ∇Σ −|∇ × n| =0, (4.21)
где s — орт, направленный вдоль вектора n ×rot n. Напомним, что для рас-
слоенного поля напряжений направления rot n и s — характеристические,
ориентации векторов rot n и h совпадают.
98
На основании (4.20) заключаем, что для вихревого расслоенного поля
напряжений, соответствующего ребру призмы Треска, величина σ
3
не из-
меняется вдоль векторной линии вихря вектора n.
Учитывая (1.5.29), можно сделать также вывод о том, что относитель-
ное изменение объема элементов, составляющих векторную линию rot n,
одно и то же.
Вдоль траектории, касающейся вектора t, величина главного напряже-
ния σ
3
не изменяется (см. (1.4.4)). Вектор t ортогонален rot n и составляет
с вектором s угол α
tgα =
|rot n|
divn
=
κ
κ
1
+ κ
2
. (4.22)
Таким образом, в случае вихревого расслоенного поля напряжений че-
рез каждую точку зоны пластического течения проходят две ортогональ-
ные друг другу траектории, вдоль которых величина главного напряжения
σ
3
не изменяется, причем вдоль любого третьего направления, некомпла-
нарного указанным двум, главное напряжение σ
3
будет заведомо перемен-
ным. Эти траектории касаются векторов t и rot n, располагающихся, оче-
видно, в плоскости, касательной к поверхности уровня главного напряже-
ния σ
3
.
Ясно, что ∇σ
3
× (h × t)=0, поэтому вместо системы (4.19)–(4.21)
удобнее рассматривать соответствующую систему в проекциях на оси ор-
тогонального триэдра h, t, h × t:
t · ∇σ
3
=0, h · ∇σ
3
=0, |∇σ
3
|±2k
∇ · n
cos α
=0. (4.23)
Анализируя эту систему, заключаем, что вектор ∇Σ располагается в
плоскости, ортогональной вектору rot n и составляет с главным направ-
лением n угол α. Поэтому слои векторного поля n и поверхности уровня
98
Векторы n, −n × rot n, rot n в случае расслоенного поля n указывают соответственно направле-
ния касательной, главной нормали и бинормали векторной линии поля n. Следовательно, они (после
нормировки) образуют естественный трехгранник (репер Френе) векторной линии расслоенного поля
n.
Ю.Н. Радаев

Страницы