ВУЗ:
Составители:
128 Глава 4. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений
Поэтому справедливо соотношение
2H = ∇
ω=const
·
∇ω
|∇ω|
= ∇ ·
∇ω
|∇ω|
=
∆ω
|∇ω|
−
1
|∇ω|
2
(∇ω) · ∇ |∇ω|,
(4.11)
или
2H =
∆ω
|∇ω|
+
∇ω
|∇ω|
· ∇ ln |∇ω|
−1
. (4.12)
Обратим внимание читателя также на следующие формулы:
rot n =
(∇ω) × (∇ |∇ω|)
|∇ω|
2
, (4.13)
κβ =
n × (∇ |∇ω|)
|∇ω|
, (4.14)
κ =
(ν · ∇) |∇ω|
|∇ω|
=(ν · ∇)ln|∇ω|, (4.15)
(β · ∇) |∇ω| =0. (4.16)
Обозначая через ∂/∂S
1
, ∂/∂S
2
соответственно дифференцирования по
направлениям главной нормали и бинормали векторных линий поля n,
нетрудно видеть, что
κ =
∂ ln |∇ω|
∂S
1
, 0=
∂ ln |∇ω|
∂S
2
. (4.17)
Для единичного векторного поля n введем углы ϑ и ψ, определяющие
его ориентацию в пространстве:
n =sinψ sin ϑi −cos ψ sin ϑj + cos ϑk.
Тогда условие расслоенности поля напряжений можно получить из (4.1)
в следующем виде:
cos ψ
∂ϑ
∂x
1
+sinψ
∂ϑ
∂x
2
−
1
2
sin 2ϑ sin ψ
∂ψ
∂x
1
+
1
2
sin 2ϑ cos ψ
∂ψ
∂x
2
+sin
2
ϑ
∂ψ
∂x
3
=0.
Таким образом, для напряженного состояния, соответствующего реб-
ру призмы Треска, поле собственных векторов тензора напряжений с наи-
большим (или наименьшим) собственным значением должно удовлетво-
рять уравнениям:
rotdiv(n ⊗ n)=0, n · rot n =0, n · n =1. (4.18)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- …
- следующая ›
- последняя »
