Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

8.2. Трехмерные уравнения равновесия в триортогональных изостатических
координатах
165
1
r
13
=
1
√
g
11
∂
∂ξ
1
ln
√
g
33
,
1
r
23
=
1
√
g
22
∂
∂ξ
2
ln
√
g
33
,
1
r
31
=
1
√
g
33
∂
∂ξ
3
ln
√
g
11
,
1
r
32
=
1
√
g
33
∂
∂ξ
3
ln
√
g
22
,
1
r
12
=
1
√
g
11
∂
∂ξ
1
ln
√
g
22
,
1
r
21
=
1
√
g
22
∂
∂ξ
2
ln
√
g
11
.
(8.2.2)
Коэффициенты 1/r
ij
в уравнениях (8.2.1) могут быть выражены че-
рез кривизны изостат в соответствующих локальных координатных плос-
костях.
Действительно, преобразуя уравнение равновесия
∇ · (l ⊗ lσ
1
+ m ⊗ mσ
2
+ n ⊗ nσ
3
)=0
к виду
l
∂σ
1
∂S
1
+ m
∂σ
2
∂S
2
+ n
∂σ
3
∂S
3
+ σ
1
[l(∇ · l)+(l · ∇)l]+σ
2
[m(∇ · m)+(m · ∇)m]+
+σ
3
[n(∇ · n)+(n · ∇)n]=0,
(8.2.3)
и учитывая, что
∇ · l = κ
32
+ κ
23
, ∇ · m = κ
13
+ κ
31
, ∇ · n = κ
12
+ κ
21
, (8.2.4)
атакже
l · [(m · ∇)m]=−κ
23
, l · [(n ·∇)n]=−κ
32
,
m · [(l · ∇)l]=−κ
13
, m · [(n ·∇)n]=−κ
31
,
n · [(l · ∇)l]=−κ
12
, n · [(m · ∇)m]=−κ
21
,
(8.2.5)
где κ
ij
есть кривизна изостаты с номером i в локальной координатной плос-
кости, перпендикулярной направлению j,
122
находим
1
r
12
= κ
23
,
1
r
21
= κ
13
,
1
r
13
= κ
32
,
1
r
31
= κ
12
,
1
r
23
= κ
31
,
1
r
32
= κ
21
.
(8.2.6)
Указанные коэффициенты выражаются также через k
ij
— нормальную
кривизну координатной линии i на координатной поверхности ξ
j
= const —
по формулам (см., например, [25], с. 102):
k
ij
=
1
r
ji
.
122
Речь идет о кривизне проекции изостаты с номером i, причем проектирование осуществляется
параллельно направлению j на плоскость, ортогональную этому направлению.
Ю.Н. Радаев

Страницы