Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

164
Глава 8. Трехмерные уравнения математической теории пластичности в
триортогональных изостатических координатах
Вопрос об условиях, при которых заданное однопараметрическое семей
ство поверхностей может быть включено в триортогональную систему, яв
ляется одним из основных для дифференциальной геометрии и известен
как проблема Кэли. В 1872 г. Кэли получил уравнение (8.1.2) в качестве
ответа на этот вопрос.
Весьма примечательным свойством трижды ортогональной изостати
ческой координатной сетки явлется то, что координатные линии ξ
1
и ξ
2
,
расположенные на поверхности ξ
3
= const, будут линиями кривизны этой
поверхности.
121
Доказательство этого факта приводится, например, в [25],
[24]. Вообще, кривые пересечения поверхностей трижды ортогональной си
стемы являются линиями кривизны на каждой поверхности этой системы.
Нормальная кривизна линий пересечения двух поверхностей для одной из
этих поверхностей равна (с точностью до знака) геодезической кривизне
для другой поверхности.
8.2. Трехмерные уравнения равновесия в триортогональ-
ных изостатических координатах
Если триортогональная изостатическая координатная система существу
ет, то уравнения равновесия сводятся к трем соотношениям вдоль изостат,
известным как уравнения Ламе (G. Lame) (см., например, [47], с. 230-232;
[49], p. 91; [48], с. 42, 43):
∂σ
1
∂S
1
+
σ
1
− σ
2
r
12
+
σ
1
− σ
3
r
13
=0,
∂σ
2
∂S
2
+
σ
2
− σ
3
r
23
+
σ
2
− σ
1
r
21
=0,
∂σ
3
∂S
3
+
σ
3
− σ
1
r
31
+
σ
3
− σ
2
r
32
=0,
(8.2.1)
где дифференциальные операторы слева суть производные по направлени
ям линий главных напряжений:
l · ∇ =
∂
∂S
1
=
1
√
g
11
∂
∂ξ
1
,
m · ∇ =
∂
∂S
2
=
1
√
g
22
∂
∂ξ
2
,
n · ∇ =
∂
∂S
3
=
1
√
g
33
∂
∂ξ
3
;
121
Линии кривизны характеризуются нулевым геодезическим кручением, т.е. геодезическое кручение
кривой на поверхности равно нулю тогда и только тогда, когда кривая есть линия кривизны (см.
подстрочное примечание на с. 127).
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы