Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

8.1. Проблема Кэли. Уравнение Кэли–Дарбу 163
В этом случае криволинейные координаты ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
, в отличие от 2/3-орто-
гональных, мы будем называть триортогональными изостатическими или
естественными координатами.
В плоском случае всегда можно ввести триортогональную изостати
ческую координатную систему. Дифференциальное уравнение траекторий
главных напряжений есть
dx
2
dx
1
2
+
σ
11
− σ
22
σ
12
dx
2
dx
1
− 1=0.
В условиях осевой симметрии также всегда можно ввести триортого
нальную изостатическую координатную систему.
Если n слоистое векторное поле и поверхности уровня скалярного по
ля ω(x
1
,x
2
,x
3
) задают слои поля n, то необходимое и достаточное условие
того, чтобы семейство поверхностей уровня могло быть дополнено до три
жды ортогональной системы поверхностей, выражается уравнением Кэли
Дарбу (A. Cayley, G. Darboux):
119
L[ω]=
c
11
c
22
c
33
2c
12
2c
23
2c
31
∂
2
11
ω∂
2
22
ω∂
2
33
ω 2∂
2
12
ω 2∂
2
23
ω 2∂
2
31
ω
111000
∂
1
ω 00∂
2
ω 0 ∂
3
ω
0 ∂
2
ω 0 ∂
1
ω∂
3
ω 0
00∂
3
ω 0 ∂
2
ω∂
1
ω
=0, (8.1.2)
где
c
ij
=
3
k=1
(∂
k
ω)(∂
3
ijk
ω) − 2(∂
2
ik
ω)(∂
2
jk
ω)
есть симметричный тензор второго ранга относительно преобразований де
картовой системы координат x
1
, x
2
, x
3
.
Таким образом, координата ξ
3
= ξ
3
(x
1
,x
2
,x
3
) должна удовлетворять
уравнению
120
L[ξ
3
]=0. (8.1.3)
Известно (см., например, [29], с. 57-70, теорема 2), что если однопарамет
рическое семейство поверхностей дополняется до трижды ортогональной
системы, то такое дополнение однозначно. Это, в свою очередь, означает,
что ориентации векторов l и m в плоскости, ортогональной вектору n,так
же будут однозначно указываться требованием дополняемости семейства
слоев векторного поля n до трижды ортогональной системы.
119
См., например: Математическая энциклопедия. Т. 3. / Под ред. акад. И.М. Виноградова. М.: Сов.
энциклопедия, 1982. С. 159. См. также [29], с. 62-70; [24], с. 92-100. Задача о включении однопарамет
рического семейства поверхностей в трижды ортогональную систему была исследована Кэли.
120
То же самое относится и к канонической изостатической координате ω
3
= ω
3
(x
1
,x
2
,x
3
).
Ю.Н. Радаев

Страницы