Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 8.
Трехмерные уравнения математической
теории пластичности в триортогональных
изостатических координатах
Поля напряжений, допускающие введение триортогональных изостати-
ческих координат, заведомо являются расслоенными, но возможность выбо-
ра изостат в качестве взаимно ортогональных координатных линий позво-
ляет продвинуться несколько дальше в анализе общих трехмерных уравне-
ний математической теории пластичности (см. [46]). Вероятность существо-
вания триортогональной изостатической координатной сетки существенно
возрастает, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Ку-
лона—Треска и, как следствие, два главных напряжения равны. Равенство
двух главных напряжений σ
1
= σ
2
означает, что любое направление, распо-
ложенное в плоскости, ортогональной вектору n, является главным. Ясно
поэтому, что при соответствии напряженного состояния ребру призмы Ку-
лона—Треска имеется известная доля произвола при выборе собственных
векторов l и m (они определены с точностью до поворотов в плоскости,
ортогональной вектору n).
118
8.1. Проблема Кэли. Уравнение Кэли–Дарбу
Изостаты отнюдь не всегда образуют сетку, которая допускает подбор
ортогональных криволинейных координат ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
так, чтобы изостаты
совпадали с координатными линиями. Необходимое и достаточное условие
этого — одновременное выполнение равенств
l · rot l =0, m ·rot m =0, n · rot n =0. (8.1.1)
118
При выяснении вопроса о существовании триортогональных изостатических координат указанная
неопределенность является дополнительным позитивным аргументом в пользу существования коор
динатного триэдра l, m, n, а выбор ориентаций l и m должен быть подчинен этому условию суще
ствования. Известно (см., например, [29], с. 57-70), что если семейство поверхностей дополняется до
трижды ортогональной системы, то такое дополнение однозначно. Поэтому, если слои поля n оказы
вается возможным включить в состав триортогональной системы повехностей, то сделать это можно
единственным образом, т.е. ориентации векторов l и m уникальны. Заметим, что при этом векторы l
и m, вообще говоря, не будут являться собственными векторами тензора приращений пластических
деформаций dε
P
. Итак, в отличие от рассуждений 1.5, 1.6, преимущественное положение векторов l
и m в упомянутой плоскости определяется совсем другим критерием: критерием существования три
ортогональных изостатических координат.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы