Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

166
Глава 8. Трехмерные уравнения математической теории пластичности в
триортогональных изостатических координатах
Ясно, что имеют место следующие соотношения:
κ
12
= k
13
,κ
13
= k
12
,
κ
21
= k
23
,κ
23
= k
21
,
κ
31
= k
32
,κ
32
= k
31
.
Заметим, что справедливы соотношения (см. [33], с. 271, 272, принимая
во внимание выбор знака в определении нормальной кривизны кривой на
поверхности, что уже отмечалось нами ранее в подстрочном примечании
на с. 127)
∇ · l = ∇
ξ
1
=const
· l = k
31
+ k
21
=2H
(1)
,
∇ · m = ∇
ξ
2
=const
· m = k
12
+ k
32
=2H
(2)
,
∇ · n = ∇
ξ
3
=const
· n = k
13
+ k
23
=2H
(3)
,
где ∇
ξ
i
=const
— оператор Гамильтона на координатной поверхности ξ
i
=
const, H
(i)
— средняя кривизна поверхности ξ
i
= const.
В триортогональной системе поверхностей нормальные кривизны k
ij
связаны с геодезическими кривизнами γ
ij
следующими соотношенимями:
123
k
13
= −γ
12
,k
12
= −γ
13
,
k
23
= −γ
21
,k
21
= −γ
23
,
k
32
= −γ
31
,k
31
= −γ
32
.
Доказательство соотношений (8.2.4) может быть в конце концов сведено к обосно-
ванию того, что для плоского единичного векторного поля n
∇ · n = κ
n
,
где κ
n
— кривизна ортогональных полю n траекторий, вычисляемая согласно (t — еди-
ничный касательный вектор, направленный в сторону возрастания натурального пара-
метра s вдоль рассматриваемых траекторий)
κ
n
= −
dt
ds
· n.
123
Если имеется некоторая кривая на поверхности, параметризованная натуральным параметром s,
t — единичный вектор, направленный по касательной к кривой в сторону возрастающих значений пара-
метра s, t
∗
— единичный вектор, расположенный в касательной плоскости ортогонально вектору t, n —
единичный вектор, направленный по нормали к поверхности так, чтобы векторы t, t
∗
, n образовывали
правую тройку, то мы определяем
κ
n
= −
dt
ds
· n,κ
g
=
dt
ds
· t
∗
соответственно как нормальную кривизну (кривизна проекции рассматриваемой кривой на плоскость,
определяемую векторами t, n) и геодезическую кривизну (кривизна проекции рассматриваемой кри-
вой на касательную плоскость, определяемую векторами t, t
∗
) кривой на поверхности. В данном выше
определении следует особо обратить внимание на знаки. В применяемой нами терминологии γ
ij
— гео-
дезическая кривизна изостатической траектории с номером i на поверхности, ортогональной главному
направлению с номером j.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы