Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

168
Глава 8. Трехмерные уравнения математической теории пластичности в
триортогональных изостатических координатах
атакже
d
2
x
3
dx
2
1
=(∂
2
11
Φ)
x
1
=0,x
2
=0
,
d
2
x
3
dx
2
2
=(∂
2
2
Φ)
x
1
=0,x
2
=0
.
Учитывая результат (8.2.7), получаем κ
12
= − (∂
2
11
Φ)|
x
1
=0,x
2
=0
, κ
21
= − (∂
2
22
Φ)|
x
1
=0,x
2
=0
и приходим к формуле (8.2.8).
Подобным же образом можно доказать справедливость формул (8.2.5). Рассмот-
рим, например, выражение n · [(l ·∇)l]. Пусть уравнения x
1
= x
1
(S
1
), x
2
= x
2
(S
1
),
x
3
=Φ(x
1
(S
1
),x
2
(S
1
)) — натуральная параметризация первой изостатической траекто-
рии. Обозначая штрихом дифференцирование по натуральному параметру S
1
, находим,
что вдоль первой изостаты
l =
x
1
i + x
2
j +(x
1
∂
1
Φ+x
2
∂
2
Φ)k
x
1
2
+ x
2
2
+(x
1
∂
1
Φ+x
2
∂
2
Φ)
2
,
где, очевидно, x
1
2
+ x
2
2
+(x
1
∂
1
Φ+x
2
∂
2
Φ)
2
=1.
Принимая во внимание, что (l · ∇)l = l
, и выполняя дифференцирование вектора
l вдоль первой изостаты, получаем
n · [(l · ∇)l]=(∂
2
11
Φ)x
1
2
+(∂
2
22
Φ)x
2
2
+2(∂
2
12
Φ)x
1
x
2
,
где значения всех производных должны вычисляться в начале локальной системы ко-
ординат. Учитывая далее, что в начале локальной системы координат x
1
= ±1, x
2
=0,
x
3
=0, приходим к искомому равенству
n · [(l · ∇)l]=(∂
2
11
Φ)
x
1
=0,x
2
=0
= −κ
12
.
Обозначая через d
k
производную по направлению изостатической тра-
ектории, которой присвоен номер k,
d
k
≡
∂
∂S
k
=
1
√
g
kk
∂
∂ξ
k
(по k не суммировать (k =1, 2, 3))
и вводя кривизны κ
ij
, приведем уравнения Ламе (8.2.1) к виду (ср. [48], с.
43, уравнение (20))
d
1
σ
1
+ κ
23
(σ
1
− σ
2
)+κ
32
(σ
1
− σ
3
)=0,
d
2
σ
2
+ κ
31
(σ
2
− σ
3
)+κ
13
(σ
2
− σ
1
)=0,
d
3
σ
3
+ κ
12
(σ
3
− σ
1
)+κ
21
(σ
3
− σ
2
)=0.
(8.2.9)
Cистема уравнений (5.3) может быть также выведена из уравнений
Ламе (8.2.1) — уравнений равновесия, представленных в триортогональной
криволинейной сетке изостат.
Для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска
с максимальным собственным значением σ
3
, уравнения Ламе приобретают
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы