Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 291 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

11.2. Построение максимально простой нормальной формы Коши 291
Так как все предыдущие рассуждения в равной мере можно провести
и для любой другой независимой переменной γ, то условие максимальной
простоты нормальной формы относительно переменной γ примет вид:
g
11
∂γ
∂ω
2
2
+ g
22
∂γ
∂ω
1
2
−2g
12
∂γ
∂ω
1

∂γ
∂ω
2
=
∂γ
∂ω
3
2
'
g
11
g
22
− g
2
12
(
2
,
(11.2.16)
где γ — новая независимая переменная.
В случае осевой симметрии каноническое преобразование координат
следует искать в форме (ω
2
— угловая координата)
x
1
= f(ω
1
,ω
3
) cos ω
2
,x
2
= f(ω
1
,ω
3
)sinω
2
,x
3
= h(ω
1
,ω
3
). (11.2.17)
Здесь f — горизонтальная координата, а h — вертикальная координата в ме-
ридиональной плоскости. Ясно, что координатные линии, соответствующие
криволинейным координатам ω
1
, ω
3
, есть взаимно ортогональные изостаты
в плоскости течения. Принимая во внимание, что
∂γ
∂ω
2
=0,g
12
=0,
уравнение (11.2.16) упрощается и сводится к
g
22
∂γ
∂ω
1
2
=(g
11
g
22
)
2
∂γ
∂ω
3
2
,
откуда, учитывая, что g
11
g
22
g
33
=1, находим уравнения линий уровня γ =
const вформе
dω
3
√
g
11
= ±
dω
1
√
g
33
.
Вернемся к общему пространственному случаю. Выражение (11.2.16)
представляет собой дифференциальное уравнение поверхности γ(ω
1
,ω
2
,ω
3
)=
const в пространстве ω
1
, ω
2
, ω
3
. Этой поверхности в пространстве ω
1
, ω
2
, ω
3
в силу (11.1.2) соответствует некоторая поверхность в пространстве x
1
, x
2
,
x
3
; единичный вектор нормали к этой поверхности мы будем обозначать
через N. Таким образом, N является вектором физического пространства.
Ковариантные компоненты вектора N относительно координатной систе-
мы ω
j
обозначим как N
j
; они будут пропорциональны частным производ-
ным
∂γ
∂ω
j
. Действительно, если ∇ — пространственный оператор Гамиль-
тона, i
s
— контравариантные локальные базисные векторы координатной
системы ω
j
,то
|∇γ|N = ∇γ =
∂γ
∂ω
s
∇ω
s
=
∂γ
∂ω
s
i
s
,
Ю.Н. Радаев

Страницы