ВУЗ:
Составители:
11.2. Построение максимально простой нормальной формы Коши 295
После ряда преобразований находим
Q
1
Q
4
− Q
2
Q
3
=
∂f
1
∂γ
3
∂f
2
∂γ
2
−
∂f
1
∂γ
2
∂f
2
∂γ
3
(g
γ
22
g
γ
33
− (g
γ
23
)
2
)=0. (11.2.29)
Последнее уравнение распадается на два:
g
γ
22
g
γ
33
− (g
γ
23
)
2
=0, (11.2.30)
что невозможно, и
∂f
1
∂γ
3
∂f
2
∂γ
2
−
∂f
1
∂γ
2
∂f
2
∂γ
3
=0, (11.2.31)
что не имеет места в силу того, что знаменатель в (11.2.10) предполагается
отличным от нуля.
Таким образом, остается лишь вариант
∂ω
3
∂γ
2
=0,
∂ω
3
∂γ
3
=0,
откуда следует, что
γ
1
= γ
1
(ω
3
),
т.е. когда поверхности γ
1
= const совпадают со слоями векторного поля n.
Проанализируем условия A
1,2
=0. На самом деле выполняется равен-
ство A
1
= A
2
. Учитывая далее, что
A
1,2
=
∂γ
1
∂ω
3
∆
'
g
γ
22
g
γ
33
− (g
γ
23
)
2
(
×
×
g
γ
22
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
2
∂ω
2
−
∂γ
2
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
2
+ g
γ
33
∂γ
3
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
−
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
3
∂ω
2
2
+
+2g
γ
23
∂γ
2
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
−
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
2
∂ω
2
∂γ
3
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
−
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
3
∂ω
2
,
введем для удобства следующие обозначения:
P
1
=
∂γ
2
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
−
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
2
∂ω
2
,
P
2
=
∂γ
3
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
−
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
3
∂ω
2
.
Тогда будет справедливо равенство
g
γ
22
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
2
∂ω
2
−
∂γ
2
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
2
+ g
γ
33
∂γ
3
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
−
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
3
∂ω
2
2
+
+2g
γ
23
∂γ
2
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
−
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
2
∂ω
2
∂γ
3
∂ω
1
∂γ
1
∂ω
2
−
∂γ
1
∂ω
1
∂γ
3
∂ω
2
=
=
∂f
1
∂γ
3
P
2
+
∂f
1
∂γ
2
P
1
2
+
∂f
2
∂γ
3
P
2
+
∂f
2
∂γ
2
P
1
2
+
∂f
3
∂γ
3
P
2
+
∂f
3
∂γ
2
P
1
2
.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- …
- следующая ›
- последняя »
