Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 315 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

12.3. Разделение переменных в пространственных уравнениях математической теории
пластичности
315
образом, является лишь выбор координатных поверхностей ξ
3
= const.До
полнительно заметим, что поверхности ξ
1
= const и ξ
2
= const харак
теристические для уравнения (12.2.6). При таком выборе криволинейных
координат имеем: g
13
=0, g
23
=0, n
1
=0, n
2
=0, что позволяет существен
но упростить уравнения (12.2.11):
∂
∂ξ
1
(Σ − ln
√
g
33
)=0,
∂
∂ξ
2
(Σ − ln
√
g
33
)=0,
∂
∂ξ
3
(Σ − ln
√
g
33
+ln
√
g)=0.
(12.3.1)
Уравнения (12.3.1) интегрируются вдоль линий главных напряжений.
Инвариант I
1
=Σ− ln
√
g
33
сохраняет свое значение на каждом из слоев
поля n. Инвариант I
2
=Σ−ln
√
g
33
+ln
√
g не изменяется вдоль векторной
линии поля n. Таким образом, если напряженное состояние соответствует
ребру призмы Треска, то поле главных направлений, определяющих ори
ентацию n, необходимо является расслоенным и, следовательно, в новых
специальным образом подобранных 2/3-ортогональных координатах ξ
1
, ξ
2
,
ξ
3
уравнения равновесия приводятся к трем интегрируемым соотношениям
(12.3.1).
Необходимое и достаточное условие интегрируемости системы (12.3.1)
состоит, как нетрудно заметить, в возможности разложения метрического
детерминанта g в произведение двух положительных функций:
g = G
1
(ξ
1
,ξ
2
)G
2
(ξ
3
). (12.3.2)
Три интегрируемых соотношения (12.3.1) эквивалентны одному соотно
шению (12.3.2). Таким образом, находится величина g, для которой разде
ляются пространственные переменные и которая представляет собой опре
делитель, составленный из компонент метрического тензора специальным
образом подобранной 2/3-ортогональной координатной системы ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
,
ее координатными линиями являются траектории главных нормальных на
пряжений.
В качестве примеров расслоенного поля напряжений можно привести
осесимметричную задачу и задачу о плоской деформации. Действительно,
любое осесимметричное, или плоское, векторное поле является расслоен
ным. Если ввести цилиндрические координаты r, ϕ, z, то слоями осесим
метричного поля n будут поверхности, образованные вращением вокруг
оси симметрии ортогональных полю n траекторий, расположенных в плос
кости ϕ =0. Слоями плоского векторного поля являются цилиндрические
поверхности над ортогональными линиями поля n.
Ю.Н. Радаев

Страницы