Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 314 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

314 Глава 12. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности
12.3. Разделение переменных в пространственных урав-
нениях математической теории пластичности
В работе [6] было исследовано уравнение (12.2.6) сначала в предположе-
нии, что n×rot n = 0 всюду в области пластического течения. Решение при
этом было классифицировано как вырожденное.
187
Было установлено, что
выполнение условия n × rot n = 0 возможно только, если n — безвихревое
векторное поле,
188
т.е.
n = ∇f,
где f — потенциал поля. Оказалось также, что семейство поверхностей уров-
ня потенциала f(x
1
,x
2
,x
3
) есть семейство эквидистантных, по отношению
к некоторой фиксированной (базовой) поверхности уровня f(x
1
,x
2
,x
3
)=c,
поверхностей. Более того, в области вырожденного поля единственно воз-
можными базовыми поверхностями уровня являются плоскость, цилиндр
или сфера (или их части). Решения пространственных уравнений математи-
ческой теории пластичности классифицируются в [6] как невырожденные,
когда n × rot n = 0 всюду в пластической зоне. При одновременном вы-
полнении условий n × rot n = 0 и n · rot n =0никаких нетривиальных
решений уравнения (12.2.9) получить нельзя. Следовательно, наибольший
интерес представляет тот случай, когда n · rot n =0и rot n = 0 всюду в
пластической зоне. В этом случае векторные поля n будут расслоенными,
и в дальнейшем исследовании они будут играть особую роль.
Поле напряжений в некоторой области назовем расслоенным (или слои-
стым), если существует семейство поверхностей, заполняющее эту область,
такое, что векторное поле единичных нормалей к поверхностям данного
семейства совпадает с полем n собственных векторов тензора напряжений.
Для того чтобы векторное поле n было расслоенным в некоторой области,
необходимо и достаточно, чтобы всюду в этой области выполнялось следу-
ющее соотношение:
n · rot n =0.
Сформулированное утверждение известно как теорема Якоби (см., напри-
мер, [12], с. 10, 11).
Воспользуемся расслоенностью векторного поля n и выберем криволи-
нейные координаты ξ
m
специальным образом: координатные поверхности
ξ
3
= const есть слои поля n, а поверхности ξ
1
= const и ξ
2
= const —
интегральные поверхности поля n (т.е. поверхности, составленные из инте-
гральных кривых векторного поля n). Строго регламентированным, таким
187
Мы называем этот случай вырожденным, подразумевая под этим тот факт, что вырожденному
решению уравнений теории пластичности соответствуют прямолинейные векторные линии поля n.
188
Доказательство этого утверждения приводится в работе [6].
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы