Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 313 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

12.2. Трехмерные уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
313
единичного вектора n), если граничные условия заданы в напряжениях.
Уравнения равновесия могут быть формально рассмотрены независимо от
кинематических уравнений.
Обозначим через Σ безразмерное отношение σ
3
к ∓2k и приведем урав-
нение (12.2.5) к виду:
gradΣ + div(n ⊗ n)=0 (n · n =1). (12.2.6)
Можно показать, что уравнение (12.2.6) принадлежит к гиперболиче-
скому типу. Нормали к характеристическим поверхностям образуют кру-
говой конус с углом полураствора π/4 и осью, ориентированной вдоль век-
тора n. Характеристические поверхности являются также и поверхностя-
ми максимального касательного напряжения (поверхностями скольжения).
Характеристическими являются не только поверхности скольжения, но и
интегральные поверхности поля n (т.е. поверхности, составленные из инте-
гральных кривых поля n).
Отметим также еще одну инвариантную форму уравнения (12.2.6):
∇Σ+(n · ∇)n + n(∇ · n)=0. (12.2.7)
Для единичного векторного поля справедлива формула
(n · ∇)n = −n × rotn, (12.2.8)
с помощью которой векторное уравнение (12.2.7) может быть также пред-
ставлено в виде
∇Σ − n × rotn + ndivn = 0. (12.2.9)
Преобразуем уравнение (12.2.6) к криволинейным координатам ξ
1
, ξ
2
,
ξ
3
. Выбор координатной системы, наиболее подходящей для изучения трех-
мерных уравнений математической теории пластичности, будет указан ни-
же. Ковариантные компоненты векторного поля div(n ⊗ n) равны:
(div(n ⊗ n))
l
= g
−1/2
g
kl
∂(g
1/2
n
k
n
m
)
∂ξ
m
+ n
r
n
s
[rs, l](l =1, 2, 3), (12.2.10)
где g
ij
— компоненты метрического тензора, g =detg
ij
— метрический
детерминант, [rs, l] — символы Кристоффеля первого рода. Через n
m
обо-
значены контравариантные компоненты векторного поля n.
Используя формулу (12.2.10), представим уравнение (12.2.6) в ковари-
антной форме:
∂Σ
∂ξ
l
+ g
−1/2
g
kl
∂(g
1/2
n
k
n
m
)
∂ξ
m
+ n
r
n
s
[rs, l]=0. (12.2.11)
Ю.Н. Радаев

Страницы