Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 312 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

312 Глава 12. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности
чениях, согласующихся с обозначениями указанной работы.
Рассмотрим уравнения равновесия для напряженных состояний, соот-
ветствующих ребру призмы Кулона—Треска. Обозначим через σ тензор
напряжений; l, m, n — ортонормированный базис из собственных векто-
ров тензора напряжений; σ
1
, σ
2
, σ
3
— соответствующие собственные значе-
ния (главные напряжения); k — предел текучести при чистом сдвиге. Спек-
тральное разложение тензора напряжений имеет вид:
σ = σ
1
l ⊗ l + σ
2
m ⊗ m + σ
3
n ⊗ n. (12.2.1)
В пространстве главных напряжений условие текучести Треска изобра-
жается поверхностью шестигранной призмы с ребрами
σ
1
± 2k = σ
2
= σ
3
,σ
1
= σ
2
± 2k = σ
3
,σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k.
Для данного напряженного состояния, соответствующего ребру призмы
Кулона—Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напря-
жений так, чтобы выполнялось равенство
σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k. (12.2.2)
Последнее условие означает, что главное напряжение σ
3
является либо
наименьшим, либо наибольшим главным нормальным напряжением.
Так как l, m, n — ортонормированный базис, то
l ⊗ l + m ⊗ m + n ⊗ n = I, (12.2.3)
где I — единичный тензор.
Учитывая соотношения (12.2.1), (12.2.3) и уравнение ребра призмы σ
1
=
σ
2
= σ
3
± 2k, получим следующее выражение для тензора напряжений:
σ =(σ
3
± 2k)I ∓ 2kn ⊗ n. (12.2.4)
Таким образом тензор напряжений полностью определяется скалярным
полем σ
3
и единичным векторным полем n.
Уравнение равновесия divσ = 0 после подстановки в него разложения
(12.2.4) можно представить в следующем виде:
gradσ
3
∓ 2kdiv(n ⊗ n)=0 (n · n =1). (12.2.5)
Следовательно, задача о равновесии тела, напряженное состояние ко-
торого соответствует ребру призмы Треска, статически определима (по-
скольку имеется ровно три уравнения для определения трех неизвестных:
собственного значения σ
3
и, например, двух углов, задающих ориентацию
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы