Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 318 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

318 Глава 12. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности
дифференцирование по автомодельной переменной ξ):
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
αβ
'
F
2
+ H
2
(
+ ξ (β − α)(FF
+ HH
) − ξ
2
'
F
2
+ H
2
(
=0,
ξ
4
'
F
2
+ H
2
(
2
+2ξ
3
(α − β)
'
F
2
+ H
2
(
(FF
+ HH
)+
+ξ
2
'
α
2
+ β
2
('
F
2
+ H
2
('
F
2
+ H
2
(
+
+2αβξ (β − α)
'
F
2
+ H
2
(
(FF
+ HH
) −
−4αβξ
2
(FF
+ HH
)
2
+ α
2
β
2
'
F
2
+ H
2
(
2
F
2
=
ξ
2
G
1
(ξ
1
)G
2
(ξ
3
)
ξ
16α
ξ
36β−4
.
(12.4.4)
Анализ этой системы показывает, что при α = β система (12.4.4)суще-
ственно упрощается и принимает форму:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α
2
'
F
2
+ H
2
(
− ξ
2
'
F
2
+ H
2
(
=0,
ξ
4
'
F
2
+ H
2
(
2
+2ξ
2
α
2
'
F
2
+ H
2
('
F
2
+ H
2
(
−
−4α
2
ξ
2
(FF
+ HH
)
2
+ α
4
'
F
2
+ H
2
(
2
F
2
=
G
1
(ξ
1
)G
2
(ξ
3
)
(ξ
1
ξ
3
)
6α−2
.
(12.4.5)
Так как G
1
и G
2
не конкретизированы, то при поиске автомодельных
решений отношение
G
1
(ξ
1
)G
2
(ξ
3
)
/
'
ξ
1
ξ
2
(
6α−2
можно представить в виде
Cξ
µ+2
,гдеC есть некоторая постоянная, а µ — показатель.
Систему (12.4.5) можно несколько упростить. Производя необходимые
преобразования и предполагая α =0, в результате приходим к
$
α
2
'
F
2
+ H
2
(
= ξ
2
'
F
2
+ H
2
(
,
(F
H − FH
)
2
=
Cξ
µ
4α
2
F
2
.
(12.4.6)
Исследуем последнюю систему, вводя в плоскости F, H полярные коор-
динаты:
F = ρ cos ι, H = ρ sin ι. (12.4.7)
Подставим выражения (12.4.7) в систему (12.4.6). После преобразований
получим систему в полярных координатах ρ, ι, которая подлежит интегри-
рованию:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
ι
2
=
Cξ
µ
4α
2
ρ
6
cos
2
ι
,
ι
2
=
α
2
ξ
2
−
ρ
2
ρ
2
.
(12.4.8)
Если выразить из второго уравнения системы автомодельную перемен-
ную ξ и подставить в первое, то при µ = −2 делением полученного уравне-
ния на ι
2
удается устранить зависимость от автомодельной переменной ξ
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы