Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 319 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

12.4. Автомодельные решения осесимметричной задачи математической теории
пластичности
319
и остается лишь одно уравнение первого порядка относительно полярных
координат ρ и ι:
1+
dρ
ρdι
2
=
4α
4
ρ
6
cos
2
ι
C
. (12.4.9)
Произведем далее замену переменной по формуле: ln ρ = W .Тогда
дифференциальное уравнение (12.4.9) примет вид
1+
dW
dι
2
=
4α
4
C
e
6W
cos
2
ι. (12.4.10)
Обозначив через l
2
константу 4α
4
/C, получим
1+
dW
dι
2
= l
2
e
6W
cos
2
ι. (12.4.11)
Совершим еще раз замену переменных по формулам e
6W
= v
s
и sin ι = u,
где показатель s будет определен ниже. Таким образом, вместо (12.4.11)
имеем уравнение:
1
cos
2
ι
+
s
2
36v
2
dv
du
2
= l
2
v
s
. (12.4.12)
С целью упрощения последнего дифференциального уравнения поло-
жим s = −2 и получим
dv
du
2
=3
2
l
2
−
v
2
1 − u
2
. (12.4.13)
Обозначим через ¯v ”безразмерное” отношение v/l, тогда уравнение (12.4.13)
примет вид
d¯v
du
2
=3
2
1 −
¯v
2
1 − u
2
. (12.4.14)
Полученное уравнение не содержит никаких параметров и в чистом виде
определяет форму автомодельного решения. При приведении последнего
уравнения к нормальной форме в правой части возникает иррациональ-
ность корневого типа. Изучим уравнение (12.4.14) в плане возможного пре-
образования его к форме, которая могла бы быть классифицирована, а
само уравнение отнесено к одному из известных типов.
В уравнении (12.4.14) совершим замену переменных ¯v =sinτ
√
1 − u
2
.
Тогда, возвращаясь к угловой переменной ι, получаем наиболее простую и
симметричную форму этого уравнения:
dτ
dι
= ±tg
2
π
3
+tgτ tg ι. (12.4.15)
Ю.Н. Радаев

Страницы