Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 320 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

320 Глава 12. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности
Исследование полученного уравнения проведем, ограничившись выбо-
ром отрицательного знака. Уравнение (12.4.15) иррациональное с иррацио-
нальностью тригонометрического типа. Чтобы устранить эту иррациональ-
ность, вместо переменных τ, ι введем новые переменные: λ =tgτ, µ =tgι.
В результате вместо уравнения (12.4.15) получим
(1 + µ
2
)
dλ
dµ
=(1+λ
2
)(−3+λµ). (12.4.16)
Заменим в последнем уравнении неизвестную функцию по формуле
λ = a(µ)ς + b(µ).
Тогда уравнение (12.4.16) преобразуется к виду
(1 + µ
2
)a
dς
dµ
= −(1 + µ
2
)
db
dµ
+(1+b
2
)(−3+bµ)+
+[a(µ − 6b +3µb
2
) − (1 + µ
2
)
da
dµ
]ς+
+3a
2
(µb − 1)ς
2
+ µa
3
ς
3
.
(12.4.17)
Попытаемся подобрать a(µ) и b(µ) так, чтобы вид уравнения стал макси-
мально простым. Видно, что член с нулевой степенью ς исчезает, если
−(1 + µ
2
)
db
dµ
+(1+b
2
)(−3+bµ)=0,
т.е. фактически, когда известно хотя бы одно частное решение уравнения
(12.4.16). Так как разыскание частного решения (12.4.16) затруднительно,
то остается вариант устранить член со второй степенью ς,положивb =
µ
−1
. Член с первой степенью ς будет устранен, если в качестве a выбрать
решение дифференциального уравнения
a(µ − 3µ
−1
)=(1+µ
2
)
da
dµ
.
Это уравнение, к счастью, без труда интегрируется, и поставленная цель
легко достигается:
a =
(1 + µ
2
)
2
µ
3
,
после чего уравнение (12.4.17) приобретает вид
dς
dµ
= −
µ
(1 + µ
2
)
2
+
(1 + µ
2
)
3
µ
5
ς
3
.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы