Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 322 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

322 Глава 12. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности
личных трансцендентных интегралов. Всякий однозначный интеграл урав-
нения (12.4.18) — рациональная функция.
191
Покажем, что уравнение (12.4.18) не имеет однозначных интегралов.
Пусть уравнение (12.4.18), рассматриваемое в комплексной форме, обла-
дает рациональным интегралом, т.е. решением, которое можно представить
в виде отношения
ς =
P (υ)
Q(υ)
, (12.4.19)
где P(υ), Q(υ) — многочлены, причем дробь в (12.4.19) несократимая.
Подставляя выражение (12.4.19) в уравнение (12.4.18), получим
2
P
Q − PQ
Q
2
=1−
P
3
Q
3
υ
2
(1 − υ)
3
, (12.4.20)
или после ряда преобразований
(Q
2
− 2P
Q +2PQ
)Qυ
2
(1 − υ)
3
= P
3
. (12.4.21)
Здесь штрих обозначает дифференцирование по переменной υ.
Так как в последнем равенстве справа и слева фигурируют многочле-
ны, то из теоремы о единственности разложения многочлена на простейшие
множители следует, что любой простейший множитель, входящий в разло-
жение многочлена Q(υ), входит также и в разложение многочлена P (υ).
Но дробь (12.4.19) несократимая, следовательно, многочлены Q(υ) и P(υ)
не могут иметь одинаковых простейших множителей. Поэтому многочлен
Q(υ) не имеет в своем разложении простейших множителей и сводится про-
сто к некоторой константе. Ясно, что тогда, положив Q =1, дробь (12.4.19)
можно считать просто многочленом:
ς = P (υ). (12.4.22)
Подставляя затем Q =1в(12.4.21), получим
(1 − 2P
)υ
2
(1 − υ)
3
= P
3
. (12.4.23)
На основании теоремы о единственности разложения многочлена на про-
стейшие множители получим, что многочлен P (υ) делится на υ(1 −υ),т.е.
его можно представить в форме
P (υ)=υ(1 − υ)R(υ), (12.4.24)
где R(υ) — многочлен.
191
Все эти результаты читатель может найти в монографии: Голубев В.В. Лекции по аналитической
теории дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1950. 436 с.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы