Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 323 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

12.4. Автомодельные решения осесимметричной задачи математической теории
пластичности
323
Подставляя в уравнение (12.4.23) выражение (12.4.24), находим
1 − 2(1 − υ)R +2υR − 2υ(1 − υ)R
= υR
3
. (12.4.25)
Если степень многочлена R(υ) равна n, то в уравнении (12.4.25) степень
многочлена справа есть 1+3n , а слева — не больше, чем 1+n. Но степени
рассматриваемых многочленов должны быть равны, что невозможно при
n 1. Следовательно, степень n многочлена R(υ) равна нулю, т.е. R(υ)=
const.Спомощью(12.4.25) находим
1 − 2R +4υR − υR
3
=1− 2R +(4R − R
3
)υ =0. (12.4.26)
Приравнивая коэффициенты при нулевой и первой степени υ нулю, по-
лучим несовместную систему уравнений для определения постоянной. Та-
ким образом, уравнение (12.4.18) не может иметь рациональных (и поэтому
вообще однозначных) интегралов.
Обратимся снова к системе (12.4.4). После ряда преобразований ее мож-
но представить как
⎧
⎨
⎩
αβ
'
F
2
+ H
2
(
+ ξ (β − α)(FF
+ HH
) − ξ
2
'
F
2
+ H
2
(
=0,
(FH
− HF
)
2
=
G
1
'
ξ
1
(
G
2
'
ξ
3
(
(α + β)
2
ξ
16α
ξ
36β−4
F
2
.
(12.4.27)
Здесь мы предполагаем, что α + β =0.
Удобно принять для G
1
и G
2
следующие выражения:
G
1
(ξ
1
)=C
1
ξ
16α+µ
,G
2
(ξ
3
)=C
2
ξ
36β−µ−4
, (12.4.28)
где C
1
и C
2
некоторые константы, а µ — показатель. Положив C = C
1
C
2
,
проведем рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены выше
для случая α = β. Снова положим µ = −2 с целью устранения переменной
ξ. В результате
192
получим дифференциальное уравнение первого порядка
αβ (α + β)
2
e
6W
cos
2
ι
C
+
'
β
2
− α
2
(
e
3W
cos ι
sign(α + β)
√
C
dW
dι
=1+
dW
dι
2
. (12.4.29)
Продолжим исследование этого дифференциального уравнения; введем
следующие обозначения:
l
1
=
αβ (α + β)
2
C
,l
2
=sign(α + β)
β
2
− α
2
√
C
,
192
Здесь мы ограничиваемся случаем, когда dι/dξ > 0.
Ю.Н. Радаев

Страницы