Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 324 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

324 Глава 12. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности
получим уравнение
l
1
e
6W
cos
2
ι + l
2
e
3W
cos ι
dW
dι
=1+
dW
dι
2
, (12.4.30)
в котором заменим переменную по формуле e
3W
= z
s
(показатель s будет
определен ниже). Тогда дифференциальное уравнение (12.4.29) приобрета-
ет вид
l
1
z
2s
cos
2
ι + l
2
z
s
cos ι
s
3z
dz
dι
=1+
s
2
3
2
z
2
dz
dι
2
. (12.4.31)
С целью упрощения (12.4.31), полагая s = −1, получим
l
1
cos
2
ι −
l
2
cos ι
3
dz
dι
= z
2
+3
−2
dz
dι
2
. (12.4.32)
Совершим замену переменной по формуле sin ι = u, тогда последнее
уравнение примет вид
dz
du
2
=3
2
l
1
−
l
2
3
dz
du
−
z
2
1 − u
2
. (12.4.33)
Если α и β одного знака, то l
1
> 0. Обозначим через ¯v безразмерное
отношение z/
√
l
1
, тогда уравнение (12.4.33) примет форму
d¯v
du
2
=3
2
1 −
β − α
3
√
αβ
d¯v
du
−
¯v
2
1 − u
2
, (12.4.34)
которая пригодна как для случая α + β>0, так и для случая α + β<0.
Разрешим это уравнение относительно производной:
2
3
d¯v
du
= −
β − α
√
αβ
±
#
(β − α)
2
αβ
+4
1 −
¯v
2
1 − u
2
. (12.4.35)
Естественной областью определения полученного уравнения будет внут-
ренность эллипса
u
2
+
¯v
2
γ
2
1
< 1
γ
1
=
1+(β −α)
2
(4αβ)
−1
.
Уравнение (12.4.35) также может быть приведено к симметричной три-
гонометрической форме посредством замены ¯v = γ
1
sin τ cos ι и использо-
вания угла ι в качестве независимой переменной:
dτ
dι
=3
sign(α + β)
α − β
(α + β) cos τ
± 1
+tgιtgτ. (12.4.36)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы